Phương trình của đường thẳng

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A. Lý thuyết cơ bản

1. Phương trình đường thẳng

- Đường thẳng $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có $VTCP\,\,\overrightarrow{a}({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}})$ có phương trình tham số là

$(d):\,\left\{ \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+{{a}_{1}}t\\y={{y}_{0}}+{{a}_{2}}t\\z={{z}_{0}}+{{a}_{3}}t\end{array} \right.\,\,\,\,(t\in \mathbb{R})$ .
- Nếu ${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\ne 0$ thì $(d):\,\frac{x-{{x}_{0}}}{{{a}_{1}}}=\frac{y-{{y}_{0}}}{{{a}_{2}}}=\frac{z-{{z}_{0}}}{{{a}_{3}}}$ được gọi là phương trình chính tắc của $d$ .
- Đường thẳng $Ox:\left\{ \begin{array}{l}x=t\\y=0\\z=0\end{array} \right.\,(t\in \mathbb{R});\,\,Oy:\left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=t\\z=0\end{array} \right.\,\,(t\in \mathbb{R});\,$ $\,Oz:\left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=0\\z=t\end{array} \right.\,\,(t\in \mathbb{R})$ .

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $d$ đi qua $A$ , có $VTCP\,\,\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(a;b;c)$ và đường thẳng $d'$ đi qua $B$ và có $VTCP\,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(a;b;c)$ .

* Trường hợp 1: $d$ và $d'$ đồng phẳng $\displaystyle ~\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{AB}=0$ .
- + $d$ và $d'$ cắt nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{AB}=0\\\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\ne \overrightarrow{0}\end{array} \right.$ .
- + $d$ và $d'$ song song với nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=0\\\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{AB} \right]\ne \overrightarrow{0}\end{array} \right.$ .
- + $d$ và $d'$ trùng nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=0\\\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{AB} \right]=\overrightarrow{0}\end{array} \right.$ .
* Trường hợp 2: $d$ và $d'$ chéo nhau $\displaystyle ~\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{AB}\ne 0$ .

Khi $d$ và $d'$ có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+at\\y={{y}_{0}}+bt\\z={{z}_{0}}+ct\end{array} \right.\,\,(t\in \mathbb{R})$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x={{x}_{0}}'+a't\\y={{y}_{0}}'+b't\\z={{z}_{0}}'+c't\end{array} \right.\,\,(t\in \mathbb{R})$ .

Khi đó số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{0}}+at={{x}_{0}}'+a't\\{{y}_{0}}+bt={{y}_{0}}'+b't\\{{z}_{0}}+ct={{z}_{0}}'+c't\end{array} \right.$ bằng số giao điểm của $d$ và $d'$ .

Trong trường hợp hệ vô nghiệm thì $d$ và $d'$ song song với nhau hoặc chéo nhau. Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ cùng phương thì $d$ // $d'$ .

3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho mặt phẳng $(P):\,Ax+By+Cz+D=0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+at\\y={{y}_{0}}+bt\\z={{z}_{0}}+ct\end{array} \right.\,\,(t\in \mathbb{R})$ .

Xét phương trình $A({{x}_{0}}+at)+B({{y}_{0}}+bt)+C({{z}_{0}}+ct)+D=0$ (ẩn t) (*)

+ $d$ // $(P)\Leftrightarrow (*)$ vô nghiệm. Khi đó $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}$ ( $\overrightarrow{{{u}_{d}}}$ là một $VTCP$ của $(P)$ ).
+ $d$ cắt $(P)\Leftrightarrow (*)$ có đúng một nghiệm.

$d\bot (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}}$ cùng phương ( $VTPT$ của $(P)$ là một $VTCP$ của $d$ ).
+ $d\subset$ $(P)\Leftrightarrow (*)$ có vô số nghiệm. Khi đó $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}$ .

4. Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng $\displaystyle d$ đi qua ${{M}_{0}}$ và có $VTCP\,\,\overrightarrow{u}$ và điểm $M$ .

$d(M,d)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{M}_{0}}M},\overrightarrow{u} \right] \right|}{|\overrightarrow{u}|}$ .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ . ${{d}_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}$ và có $VTCP\,\,\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ , ${{d}_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có $VTCP\,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ .

$d({{d}_{1}},{{d}_{2}})=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}$ .

Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm $M$ bất kì trên $d$ đến mặt phẳng $(P)$ .

5. Góc

Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ có hai $VTCP$ lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ và $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ .

Góc giữa hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ bằng hoặc bù với góc giữa hai vecto $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ và $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ .

$\cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}$ , ${{0}^{0}}\le \widehat{({{d}_{1}},{{d}_{2}})}\le {{90}^{0}}$ .
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ có $VTCP\,\,\overrightarrow{u}(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có $VTPT\,\,\overrightarrow{n}(A;B;C)$ .

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng góc giữa đường thẳng $d$ với hình chiếu $d'$ của nó trên $(P)$ .

$\sin \left( \widehat{d,(P)} \right)=\frac{\left| Aa+Bb+Cc \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$ , ${{0}^{0}}\le \widehat{\left( d,(P) \right)}\le {{90}^{0}}$ .

B. Bài tập

Dạng 1. Lập phương trình đường thẳng biết VTCP $\overrightarrow{u}$

A. Phương pháp

- Đường thẳng $d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có $VTCP\,\,\overrightarrow{a}({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}})$ có phương trình tham số là
$(d):\,\left\{ \begin{array}{l}x={{x}_{0}}+{{a}_{1}}t\\y={{y}_{0}}+{{a}_{2}}t\\z={{z}_{0}}+{{a}_{3}}t\end{array} \right.\,\,\,\,(t\in \mathbb{R})$ .
- Nếu ${{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\ne 0$ thì $(d)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x-{{x}_{0}}}{{{a}_{1}}}=\frac{y-{{y}_{0}}}{{{a}_{2}}}=\frac{z-{{z}_{0}}}{{{a}_{3}}}$ .
- Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A,B$ phân biệt có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}$ .
- Đường thẳng $d=(P)\cap (Q)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;-2;0)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}(0;0;1)$ . Đường thẳng $d$ có phương trình tham số là

A. $\left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-2\\z=t\end{array} \right.$ . B. $\left\{ \begin{array}{l}x=1-t\\y=-2+2t\\z=t\end{array} \right.$ . C. $\left\{ \begin{array}{l}x=t\\y=-2t\\z=1\end{array} \right.$ . D. $\left\{ \begin{array}{l}x=1-2t\\y=-2-t\\z=0\end{array} \right.$ .

Lời giải:

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;-2;0)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}(0;0;1)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-2\\z=t\end{array} \right.$ .

Ví dụ 1.2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(-1;3;-2),\,B(-3;7;-18)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x-y+z+1=0$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua 2 điểm $A,B$ .

A. $\left\{ \begin{array}{l}x=-1-t\\y=3+2t\\z=-2+8t\end{array} \right.$ . B. $\left\{ \begin{array}{l}x=-1-t\\y=3+2t\\z=-2-8t\end{array} \right.$ . C. $\left\{ \begin{array}{l}x=1-t\\y=3+2t\\z=-2-8t\end{array} \right.$ . D. $\left\{ \begin{array}{l}x=-1-t\\y=3+2t\\z=2-8t\end{array} \right.$ .

Lời giải:

$\overrightarrow{AB}(-2;4;-16)=2(-1;2;-8)$ .

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}(-1;2;-8)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x=-1-t\\y=3+2t\\z=-2-8t\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x-2y+3z-4=0$ và $(Q):3x+2y-5z-4=0$ . Giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ có phương trình tham số là

A. $\left\{ \begin{array}{l}x=2+2t\\y=-1+7t\\z=4t\end{array} \right.$ . B. $\left\{ \begin{array}{l}x=2-2t\\y=-1+7t\\z=-4t\end{array} \right.$ . C. $\left\{ \begin{array}{l}x=2+2t\\y=1+7t\\z=4t\end{array} \right.$ . D. $\left\{ \begin{array}{l}x=1+2t\\y=1-7t\\z=4t\end{array} \right.$ .

Lời giải:

Cách 1:

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}x-2y+3z-4=0\\3x+2y-5z-4=0\end{array} \right.\,\,\,(*)$ .

Cho $x=0$ thay vào (*) tìm được $y=-8,z=-4$ .

Đặt $A(0;-8;-4)$ .

Cho $z=0$ thay vào (*) tìm được $x=2,y=-1$ .

Đặt $B(2;-1;0)\Rightarrow \overrightarrow{AB}(2;7;4)$ là một vecto chỉ phương của $(P)\cap (Q)$ .

Như vậy, phương trình tham số của $(P)\cap (Q)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x=2+2t\\y=-1+7t\\z=4t\end{array} \right.$ .

Cách 2:

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}x-2y+3z-4=0\\3x+2y-5z-4=0\end{array} \right.\,\,(*)$ .

Cho $z=0$ thay vào (*) tìm được $x=2,y=-1$ .

Đặt $B(2;-1;0)$ .

$(P):x-2y+3z-4=0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=(1;-2;3)$ .

$(Q):3x+2y-5z-4=0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}(3;2;-5)$ .

$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=(4;14;8)\Rightarrow$ chọn $\overrightarrow{u}=(2;7;4)$ là một vecto pháp tuyến của $(P)\cap (Q)$ .

Như vậy, phương trình tham số của $(P)\cap (Q)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x=2+2t\\y=-1+7t\\z=4t\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.4 (THPT Chuyên KHTN 2017 Lần 4) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;-1;0),B(-1;2;-2),C(3;0;-4)$ . Viết phương trình trung tuyến đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ .

A. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-3}$ . B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{3}$ .

C. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-3}$ . D. $\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{3}$ .

Lời giải:

Gọi $M(1;1;-3)$ là trung điểm của cạnh $BC$ , ta có $\overrightarrow{AM}=(-1;1;-3)$ là vecto chỉ phương của đường thẳng $AM$ .

Do đó phương trình đường trung tuyến $AM$ là $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{3}$ .

Chọn đáp án B.

Dạng 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 2.1 (THPT Chuyên Bắc Giang 2017 Lần 1) Cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z-3}{4}$ và mặt phẳng $(P):2x-y+z-5=0$ . Xét vị trí tương đối của $d$ và $(P)$ .

A. $d$ nằm trên $(P)$ . B. $d$ // $(P)$ .

C. $d$ cắt và không vuông góc với $(P)$ . D. $d\bot (P)$ .

Lời giải:

Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;0;3)$ và có $VTCP\,\,\,\overrightarrow{{{u}_{d}}}(-1;2;4)$ , mặt phẳng $(P)$ có một $VTPT$ $\overrightarrow{{{n}_{P}}}(2;-1;1)$ .

Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=-1.2+2(-1)+4.1=0$ .

Do đó $d$ song song hoặc nằm trên $(P)$ .

Mặt khác $2.1-0+3-5=0\Rightarrow M(1;0;3)\in (P)$ .

Vậy $d$ nằm trên $(P)$ . Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x=5-t\\y=1+2t\\z=-3\end{array} \right.$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $-x+2y-2=0$ . Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $d$ .

A. $N(4;3;3)$ . B. $N(4;3;0)$ . C. $N(4;-3;-3)$ . D. $N(4;3;-3)$ .

Lời giải:

Cách 1 (Tự luận)

Xét phương trình $-(5-t)+2(1+2t)-2=0\Leftrightarrow 5t-5=0\Leftrightarrow t=1$ .

Thay $t=1$ vào phương trình đường thẳng $d$ , ta được tọa độ giao điểm của $d$ và $(P)$ là $N(4,3,-3)$ .

Cách 2 (Trắc nghiệm)

Vì $N\in d\Rightarrow {{z}_{N}}=-3\Rightarrow$ Loại đáp án A và B.

$N\in (P)$ nên thay tọa độ $N$ vào phương trình mặt phẳng $(P)\Rightarrow$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x=2+t\\y=-3-t\\z=-t\end{array} \right.$ và điểm $A(1;3;5)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$ .

A. $x-y-z-7=0$ . B. $x-y+z+7=0$ .

C. $x-y-z+7=0$ . D. $x+y-z+7=0$ .

Lời giải:

$\overrightarrow{u}(1;-1;-1)$ là $VTCP$ của đường thẳng $d$ .

Vì $(P)\bot d$ nên $\overrightarrow{u}(1;-1;-1)$ cũng là $VTPT$ của $(P)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1;3;5)$ và có $VTPT\,\,(1;-1;-1)$ là:

$x-1-(y-3)-(z-5)=0\Leftrightarrow x-y-z+7=0$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.4: Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $M(1;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x-4y-5z+3=0$ là

A. $\left\{ \begin{array}{l}x=1+t\\y=2-4t\\z=3-5t\end{array} \right.$ . B. $\left\{ \begin{array}{l}x=1+t\\y=2+4t\\z=3+5t\end{array} \right.$ . C. $\left\{ \begin{array}{l}x=1+t\\y=-2-4t\\z=-3-5t\end{array} \right.$ . D. $\left\{ \begin{array}{l}x=1+t\\y=2+4t\\z=3-5t\end{array} \right.$ .

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{n}=(1;-4;-5)$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Vì $\Delta \bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{n}(1;-4;-5)$ cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ .

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{array}{l}x=1+t\\y=2-4t\\z=3-5t\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.5 (Chuyên Bắc Giang 2017 Lần 1) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ):2x-3y+z-2=0$ và chứa đường thẳng $d:\frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}$ .

A. $x-y+z-3=0$ . B. $2x+y-z+3=0$ .

C. $x+y+z-1=0$ . D. $3x+y-z+3=0$ .

Lời giải:

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0;-1;2)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(-1;2;-1)$ .

Mặt phẳng $(\alpha )$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-3;1)$ .

Mặt phẳng $(P)$ cần tìm đi qua điểm $M(0;-1;2)$ và có vecto pháp tuyến $\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{u} \right]=(-1;-1;-1)$ có phương trình là $x+y+z-1=0$ . Chọn C.

Dạng 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng

A. Phương pháp

+ $d//d'\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{u}_{d'}}}$ cùng phương (có cùng vecto chỉ phương).
+ $d\bot d'\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d'}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=0$ .
+ $d\cap d'=M\Rightarrow$ Tọa độ $M$ thỏa mãn phương trình tham số của $d$ và $d'$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định 2017 Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z}{4}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{-1}$ . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ vuông góc với nhau và cắt nhau. B. ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}$ .

C. ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ chéo nhau. D. ${{d}_{1}}\equiv {{d}_{2}}$ .

Lời giải:

Đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z}{4}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;1;4)$ .

Đường thẳng ${{d}_{2}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{-1}$ có vecto chỉ phương $\displaystyle \overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;2;-1)$ .

Ta thấy $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ và $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ không cùng phương nên đáp án B, C sai.

Phương trình tham số ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{array}{l}x=1+2t\\y=7+t\\z=4t\end{array} \right.,\,{{d}_{2}}:\left\{ \begin{array}{l}x=-1+s\\y=2+2s\\z=2-s\end{array} \right.$ .

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}1+2t=-1+s\\7+t=2+2s\\4t=2-s\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t-s=-2\\t-2s=-5\\4t=2-s\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t=\frac{1}{3}\\s=\frac{8}{3}\\4.\frac{1}{3}\ne 2-\frac{8}{3}\end{array} \right.$ hệ vô nghiệm.

Suy ra ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ chéo nhau. Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.2: Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và song song với đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-4}=\frac{z-1}{-5}$ là

A. $\left\{ \begin{array}{l}x=1+t\\y=2-4t\\z=3-5t\end{array} \right.$ . B. $\left\{ \begin{array}{l}x=3+t\\y=4t\\z=-5t\end{array} \right.$ . C. $\left\{ \begin{array}{l}x=1+t\\y=-2-4t\\z=-3-5t\end{array} \right.$ . D. $\left\{ \begin{array}{l}x=3+t\\y=-4t\\z=-5t\end{array} \right.$ .

Lời giải:

Ta có $\displaystyle \overrightarrow{u}=(1;-4;-5)$ là một vecto chỉ phương của đường thẳng $d$ .

Vì $\Delta //d\Rightarrow \overrightarrow{u}(1;-4;-5)$ cũng là một vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ .

Vậy phương trình của đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{array}{l}x=1+t\\y=2-4t\\z=3-5t\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3.3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(2;0;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ , vuông góc và cắt đường thẳng $d$ .

A. $\left\{ \begin{array}{l}x=2-t\\y=0\\z=2+t\end{array} \right.$ . B. $\left\{ \begin{array}{l}x=2-t\\y=1\\z=1+t\end{array} \right.$ . C. $\left\{ \begin{array}{l}x=2-t\\y=0\\z=1+t\end{array} \right.$ . D. $\left\{ \begin{array}{l}x=1-t\\y=0\\z=1+t\end{array} \right.$ .

Lời giải:

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ , vuông góc và cắt đường thẳng $d$ tại $M$ .

$\Rightarrow M\in d\Rightarrow M(1+m;2m;2+m),\,\,m\in \mathbb{R}$ .

$\overrightarrow{u}(1;2;1)$ là vecto chỉ phương của $d$ .

Vì $d\bot \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AM}=0\Leftrightarrow 4m=0\Leftrightarrow m=0$ .

Do đó vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{AM}(-1;0;1)$ .

Phương trình tham số của $\Delta$ là $\left\{ \begin{array}{l}x=2-t\\y=0\\z=1+t\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):3x+5y-z-2=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$ . Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$ , đi qua giao điểm của $d$ và $(P)$ , đồng thời vuông góc với $d$ ?

A. $\frac{x}{8}=\frac{y}{-7}=\frac{z+2}{-11}$ . B. $\frac{x}{8}=\frac{y}{-7}=\frac{z+2}{-11}$ .

C. $\frac{x}{8}=\frac{y}{-7}=\frac{z+2}{-11}$ . D. $\frac{x}{8}=\frac{y}{-7}=\frac{z+2}{-11}$ .

Lời giải:

Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $(P)\Rightarrow M(12+4t;9+3t;1+t)$ .

$M\in (P)\Rightarrow$ $3(12+4t)+5(9+3t)-(1+t)-2=0\Leftrightarrow t=-3$ . Do đó $M(0;0;-2)$ .

$d$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(4;3;1),\,(P)$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{n}=(3;5;-1)\Rightarrow \Delta$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{v}=\left[ \overrightarrow{n},\overrightarrow{u} \right]=(8;-7;-11)$ .

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\frac{x}{8}=\frac{y}{-7}=\frac{z+2}{-11}$ . Chọn đáp án A.

Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng

A. Phương pháp

- Đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ không song song với nhau $\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}},\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right]$ .
- $d\cap d'=M\Rightarrow$ Tọa độ $M$ thỏa mãn phương trình tham số của $d$ và $d'$ .
- Viết phương trình đường thẳng $d$ là đường vuông góc chung của ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ chéo nhau.
- + Chuyển ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ về dạng tham số.
- + Giả sử $d\cap {{d}_{1}}=A,\,\,d\cap {{d}_{2}}=B\Rightarrow$ Tọa độ $A,B$ theo ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ .
- + Từ điều kiện $\displaystyle 102$ .
- + $d$ chính là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 4.1: Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ có phương trình lần lượt là ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{array}{l}x={{t}_{1}}\\y=-1-4{{t}_{1}}\\z=6+6{{t}_{1}}\end{array} \right.$ và ${{d}_{2}}:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-5}$ . Phương trình của ${{d}_{3}}$ đi qua $M(1;-1;2)$ và vuông góc với cả ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ là

A. $\left\{ \begin{array}{l}x=1-14t\\y=-1+17t\\z=2+9t\end{array} \right.$ . B. $\left\{ \begin{array}{l}x=1+14t\\y=-1+17t\\z=2+9t\end{array} \right.$ . C. $\left\{ \begin{array}{l}x=1+14t\\y=-1-17t\\z=2+9t\end{array} \right.$ . D. $\left\{ \begin{array}{l}x=1+14t\\y=-1+17t\\z=2-9t\end{array} \right.$ .

Lời giải:

Vecto chỉ phương của ${{d}_{3}}$ là $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(14;17;9)$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4.2 (THPT Chuyên KHTN 2017 Lần 4) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{1};\,{{d}_{2}}:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{4}$ . Đường thẳng $d$ qua $M$ cắt ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt tại $A$ và $B$ . Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ .

A. $AB=2$ . B. $AB=3$ . C. $AB=\sqrt{6}$ . D. $AB=\sqrt{5}$ .

Lời giải:

Giả sử $A(1+a;2+3a;a),\,\,B(-1-b;1+2b;2+4b)$ .

$\overrightarrow{MA}=(a-2;3a-1;a+2),\,\overrightarrow{MB}=(-b-4;2b-2;4b-4)$ .

Ta có $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a-2=k(-b-4)\\3a-1=k(2b-2)\\a+2=k(4b-4)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=0\\b=0\end{array} \right.\Rightarrow AB=3$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4.3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(1;2;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{-2}$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$ , vuông góc với $d$ và cắt trục $Ox$ .

A. $\left\{ \begin{array}{l}x=1-2t\\y=2-2t\\z=3+3t\end{array} \right.$ . B. $\left\{ \begin{array}{l}x=-2t\\y=2-2t\\z=3-3t\end{array} \right.$ . C. $\left\{ \begin{array}{l}x=1-2t\\y=2-2t\\z=3-3t\end{array} \right.$ . D. $\left\{ \begin{array}{l}x=1-2t\\y=2+2t\\z=3-3t\end{array} \right.$ .

Lời giải:

Gọi $B(x;0;0)$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với trục $Ox$ . Khi đó, đường thẳng $\Delta$ nhận vecto $\overrightarrow{AB}=(x-1;-2;-3)$ làm vecto pháp tuyến. Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow (x-1).2-2+6=0\Leftrightarrow x=-1$ .

Đường thẳng $\Delta$ nhận vecto $\overrightarrow{AB}=(-2;-2;-3)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x=1-2t\\y=2-2t\\z=3-3t\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 4.4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{array}{l}x=3-4{{t}_{1}}\\y=-2+{{t}_{1}}\\z=-1+{{t}_{1}}\end{array} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array}{l}x=6{{t}_{2}}\\y=1+{{t}_{2}}\\z=2+2{{t}_{2}}\end{array} \right.$ . Lập phương trình đường vuông góc chung của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ .

A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{2}$ . B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{2}$ .

C. $\frac{x+1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ . D. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$ .

Lời giải:

Đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-4;1;1),\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-6;1;2)$ .

Giả sử $M=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow M(3-4{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}};-1+{{t}_{1}})$ .

$N=d\cap {{d}_{2}}\Rightarrow N(-6{{t}_{2}};1+{{t}_{2}};2+2{{t}_{2}})$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(-6{{t}_{2}}+4{{t}_{1}}-3;{{t}_{2}}-{{t}_{1}}+3;2{{t}_{2}}-{{t}_{1}}+3)$ .

$MN$ là đoạn vuông góc chung của ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{MN}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}}\\\overrightarrow{MN}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0\\\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{{t}_{2}}-2{{t}_{1}}+2=0\\41{{t}_{2}}-27{{t}_{1}}+27=0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{t}_{1}}=1\\{{t}_{2}}=0\end{array} \right.\Rightarrow M(-1;-1;0),N(0;1;2)$ .

Phương trình đường vuông góc chung của ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ là $\frac{x+1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ .

Dạng 5. Khoảng cách – Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Ví dụ 5.1: Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+7}{3}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z-9}{4}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x}{3}=\frac{y+4}{-1}=\frac{z+18}{4}$ . Tính khoảng cách giữa ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ .

A. $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=25$ . B. $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=20$ .

C. $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=15$ . D. $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\sqrt{15}$ .

Lời giải:

Ta thấy ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là hai đường thẳng song song, nên ta chỉ việc lấy một điểm bất kì thuộc ${{d}_{1}}$ và tính khoảng cách từ điểm đó đến ${{d}_{2}}$ .

Gọi $M(-7;5;8)\in {{d}_{1}},\,H(0;-4;-18)\in {{d}_{2}}$

Ta có: $\overrightarrow{MH}=(7;-9;-27)$ .

Vecto chỉ phương của ${{d}_{2}}$ là $\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=(3;-1;4)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{MH},\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right]=(-63;-109;20)$ .

Vậy $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=d\left( M,{{d}_{2}} \right)=\frac{\left| \overrightarrow{MH},\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}} \right|}=25$ .

Ví dụ 5.2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tính khoảng cách $d$ từ điểm $A(1;-2;3)$ đến đường thẳng $d:\frac{x-10}{5}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{1}$ .

A. $d=\sqrt{\frac{1361}{27}}$ . B. $d=7$ . C. $d=\frac{13}{2}$ . D. $d=\sqrt{\frac{1358}{27}}$ .

Lời giải:

Đường thẳng $d$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(5;1;1)$ . Gọi điểm $M(10;2;-2)\in d$ .

Ta có $\displaystyle \overrightarrow{AM}=(9;4;-5)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{u} \right]=(9;-34;-11)$ .

$d\left( A,d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\sqrt{\frac{1358}{27}}$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 5.2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x+y-2z+9=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $(P)$ và cắt $d$ tại một điểm $M$ cách $(P)$ một khoảng bằng 2.

A. $\left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{19}{11}+2t\\y=-\frac{45}{11}+t\\z=\frac{41}{11}-2t\end{array} \right.$ . B. $\left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{7}{11}+2t\\y=\frac{39}{11}+t\\z=\frac{29}{11}-2t\end{array} \right.$ .

C. $\left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{7}{11}+2t\\y=\frac{39}{11}-t\\z=\frac{29}{11}-2t\end{array} \right.$ . D. Cả A, B đều đúng.

Lời giải:

Vì $\Delta \bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}(2;1;-2)$ là một vecto chỉ phương của $\Delta$ .

Giả sử $\Delta \cap d=M\Rightarrow M(t-1;1+7t;3-t)$ .

Ta có $d\left( M,(P) \right)=2\Leftrightarrow |11t+2|\,=6\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=-\frac{8}{11}\\t=\frac{4}{11}\end{array} \right.$ .

Với $t=-\frac{8}{11}\Rightarrow M\left( -\frac{19}{11};-\frac{45}{11};\frac{41}{11} \right)$ .

Với $t=\frac{4}{11}\Rightarrow M\left( -\frac{7}{11};\frac{39}{11};\frac{29}{11} \right)\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{7}{11}+2t\\y=\frac{39}{11}+t\\z=\frac{29}{11}-2t\end{array} \right.$ $\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{19}{11}+2t\\y=-\frac{45}{11}+t\\z=\frac{41}{11}-2t\end{array} \right.$ .

Ví dụ 5.2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-5=0$ và các điểm $A(-3;0;1),B(1;-1;3)$ . Trong tất cả các đường thẳng đi qua $A$ và song song với mặt phẳng $(P)$ , gọi $d$ là đường thẳng sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ là lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng $d$ .

A. $\frac{x-5}{2}=\frac{y}{-6}=\frac{z}{-7}$ . B. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y+12}{6}=\frac{z+13}{7}$ .

C. $\frac{x+3}{-2}=\frac{y}{-6}=\frac{z-1}{7}$ . D. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{6}=\frac{z-3}{7}$ .

Lời giải:

Vì $(-3-2.0+2.1-5)(1-2.(-1)+2.3-5)<0$ nên hai điểm $A,B$ khác phía so với $(P)$ . Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên $d$ .

Ta có $BH\le BA$ nên khoảng cách $BH$ từ $B$ đến $d$ lớn nhất khi và chỉ khi $H\equiv A$ .

Khi đó $AB\bot d$ .

Vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(1;-2;2)$ .

$\overrightarrow{AB}=(4;-1;2)$ .

Vecto chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{AB} \right]=(-2;6;7)$ .

Mà $d$ qua $A(-3;0;1)$ nên chọn B.

Dạng 6. Góc giữa hai đường thẳng – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

A. Phương pháp

Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ có hai $VTCP$ lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ và $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ .

Góc giữa hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ bằng hoặc bù với góc giữa hai vecto $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ và $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ .

$\cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}$ , ${{0}^{0}}\le \widehat{({{d}_{1}},{{d}_{2}})}\le {{90}^{0}}$ .
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ có $VTCP\,\,\overrightarrow{u}(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có $VTPT\,\,\overrightarrow{n}(A;B;C)$ .

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng góc giữa đường thẳng $d$ với hình chiếu $d'$ của nó trên $(P)$ .

$\sin \left( \widehat{d,(P)} \right)=\frac{\left| Aa+Bb+Cc \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$ , ${{0}^{0}}\le \widehat{\left( d,(P) \right)}\le {{90}^{0}}$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 6.1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , số đo của góc tạo bởi hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{array}{l}x=-1+t\\y=2\\z=2+t\end{array} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array}{l}x=8-2t'\\y=t'\\z=2t'\end{array} \right.$ là

A. ${{90}^{0}}$ . B. ${{60}^{0}}$ . C. ${{30}^{0}}$ . D. ${{45}^{0}}$ .

Lời giải:

Vecto chỉ phương của ${{d}_{1}}$ là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;0;1)$ .

Vecto chỉ phương của ${{d}_{2}}$ là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-2;1;2)$ .

Ta có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0\Rightarrow {{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}$

Vậy góc tạo bởi ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là ${{90}^{0}}$ .

Chọn A.

Ví dụ 6.2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{array}{l}x=-1+t\\y=\sqrt{2}t\\z=2+t\end{array} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array}{l}x=2+t\\y=1+\sqrt{2}t\\z=2+mt\end{array} \right.$ . Với giá trị nào của m thì ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ hợp với nhau một góc ${{60}^{0}}$ ?

A. $m=-1$ . B. $m=1$ . C. $m=\frac{1}{2}$ . D. $m=-\frac{3}{2}$ .

Lời giải:

Vecto chỉ phương của ${{d}_{1}}$ là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;\sqrt{2};1)$ .

Vecto chỉ phương của ${{d}_{2}}$ là $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(1;\sqrt{2};m)$ .

Ta có $\displaystyle \cos {{60}^{0}}=\left| \cos (\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}) \right|\Leftrightarrow |m+3|\,=\sqrt{{{m}^{2}}+3}\Leftrightarrow m=-1$

Chọn A.

Ví dụ 6.3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x=1-t\\y=2+t\\z=t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $(P):2x+3y+z-4=0$ . Tính $\sin \left( d,(P) \right)$ .

A. $\frac{-\sqrt{42}}{21}$ . B. $\frac{\sqrt{42}}{21}$ . C. $\frac{\sqrt{21}}{42}$ . D. $\frac{-\sqrt{21}}{42}$ .

Lời giải:

Vecto chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u}=(-1;1;0)$ .

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(2;3;1)$ .

Ta có $\sin \left( d,(P) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\frac{\sqrt{42}}{21}$ .

Chọn B.

Ví dụ 6.4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d,d'$ có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l}x=1+t\\y=2+t\\z=t\end{array} \right.,\,\,\,d':\left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=1+\sqrt{2}t'\\z=\sqrt{2}t'\end{array} \right.$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A(3; 2; 2), vuông góc với đường thẳng d và tạo với đường thẳng d’ một góc ${{60}^{0}}$ .

A. $\left\{ \begin{array}{l}x=3+t\\y=2\\z=2-t\end{array} \right.,\,\left\{ \begin{array}{l}x=3+t\\y=2\\z=2-t\end{array} \right.$ . B. $\left\{ \begin{array}{l}x=3-t\\y=2\\z=2-t\end{array} \right.,\,\left\{ \begin{array}{l}x=3+t\\y=2\\z=2-t\end{array} \right.$ .

C. $\left\{ \begin{array}{l}x=3+t\\y=2\\z=2+t\end{array} \right.,\,\left\{ \begin{array}{l}x=3+t\\y=2\\z=2-t\end{array} \right.$ . D. $\left\{ \begin{array}{l}x=3+t\\y=2\\z=2+t\end{array} \right.,\,\left\{ \begin{array}{l}x=3+t\\y=2\\z=2+t\end{array} \right.$ .

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-1;1)$ .

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u'}=(0;\sqrt{2};\sqrt{2})$ .

Gọi $\overrightarrow{v}=(a;b;c),\,({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0)$ là một vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ .

Ta có $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{v}\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow a+b+c=0\Leftrightarrow a=-b-c$ .

$\cos (\Delta ,d')=\frac{\left| \sqrt{2}b+\sqrt{2}c \right|}{2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$ $\Rightarrow \frac{\left| \sqrt{2}b+\sqrt{2}c \right|}{2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b=0\\c=0\end{array} \right.$ .