SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN   A. Lý thuyết cơ bản 1. Số phức Số phức  là một biểu thức có dạng  trong đó  và . Trong đó: +  là đơn vị ảo. +  là phần thực của . +  là phần ảo. Tập hợp các số phức, kí hiệu là . Chú ý: + 0 là số phức có phần thực và phần ảo đều bằng 0. + Số phức  là số thực nếu . + Số phức  là số thuần ảo nếu . Hai số phức  bằng nhau . 2. Số phức liên hợp Số phức liên hợp của  là . Nhận xét:     + . + . + . 3. Mô đun của số phức Mô đun của số phức  là . Nhận xét : + .                           + .                  + .          + . 4. Biểu diễn hình học số phức Điểm  trong một hệ tọa độ Oxy được gọi là một điểm biểu diễn số phức .     5. Các phép toán Cho  và  ta có: . . . B. Bài tập Dạng 1. Các phép toán trên tập số phức A. Phương pháp - Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức. - Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức…     B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1.1: Tìm số phức liên hợp của: . Lời giải: Ta có : . Suy ra số phức liên hợp của z là: . Ví dụ 1.2: Tìm mô đun của số phức . Lời giải: Ta có : . Vậy, mô đun của z bằng: . Ví dụ 1.3: Cho số phức z = . Tính các số phức sau: ; z2; ()3; 1 + z + z2 Lời giải: Vì z =  Þ  =  Ta có z2 = ==  ()2 =  ()3 =()2 .  =  Ta có: 1 + z + z2 =  Ví dụ 1.4: Tìm phần ảo của z biết:  Lời giải: Giả sử z = a+bi. . Vậy phần ảo của z bằng -10. Ví dụ 1.5: Cho . Tính  Lời giải:   Ví dụ 1.6: Cho . Tính ; ;  Lời giải: +)   +)  +)   Ví dụ 1.7 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017) Cho  là các số thực và . Giá trị của  bằng     A. .                                                     B. .     C. .                       D. 0. Lời giải: Ta có  và . Khi đó                      Chọn B. Dạng 2. Tính  và áp dụng A. Phương pháp - Nếu  nguyên dương thì . - Nếu  nguyên âm thì . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 2.1: Tính số phức  Lời giải: Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i Þ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i. Ví dụ 2.2: Tính số phức z =  Lời giải: Ta có:   . Vậy =i16 +(-i)8 = 2. Ví dụ 2.3: Tính . Lời giải: Cách 1: Ta có . Suy ra . Cách 2: Dãy số  lập thành một cấp số nhân gồm 2013 số hạng, có công bội là , số hạng đầu là 1. Do đó  . Ví dụ 2.4: Cho số phức . Tính .     A. .                          B. 1.                              C. 0.                             D. . Lời giải: Ta có . . Chọn A. Ví dụ 2.5: Phần thực của số phức  có dạng  với  bằng     A. 1007.                     B. 1006.                       C. 2012.                       D. 2013. Lời giải: . Chọn A. Ví dụ 2.6: Phần ảo của số phức  bằng     A. .                  B. .                       C. .                          D. 0. Lời giải: Ta có . Chọn A. Ví dụ 2.7 (THPT Hai Bà Trưng – Huế) Tính .     A. .                                 B. .     C. .                                         D. . Lời giải: Ta có       Chọn C. Dạng 3. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước A. Phương pháp + Gọi . Thay vào giả thiết ta được hệ hai phương trình hai ẩn . + Giải hệ phương trình để tìm . + Kết luận. B. Bài tập ví dụ Ví dụ 3.1 (THPT Chuyên KHTN – Hà Nội) Cho số phức  thỏa mãn . Tìm mô đun của .     A. .                  B. .                    C. .                    D. . Lời giải: Đặt . Ta có:            Vậy . Chọn A. Ví dụ 3.2 (THPT Hai Bà Trưng – Huế) Có bao nhiêu số phức  thỏa mãn .     A. 3.                          B. 2.                           C. 1.                           D. 4. Lời giải: Gọi . Khi đó   Vậy có 3 số phức thỏa mãn đề bài là . Chọn A. Ví dụ 3.3 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa) Có bao nhiêu số phức  thỏa mãn đồng thời điều kiện  và .     A. 2.                          B. 4.                            C. 3.                            D. 1. Lời giải: Giả sử . Ta có: Vậy có đúng một số phức thỏa mãn đề bài. Chọn D. Ví dụ 3.4: Tìm số phức  thỏa mãn các điều kiện sau:     a)  và .                     b)  và  là số thuần ảo. Lời giải:     a) Gọi .     Ta có                            .     b)  và  là số thuần ảo.     Gọi .     Ta có                                      là số thuần ảo      (3)     Từ (2) suy ra  thay vào (3) ta được:          Vậy có hai số phức thỏa mãn yêu cầu bài là . Dạng 4. Biểu diễn số phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức A. Phương pháp Giả sử  là điểm biểu diễn số phức . Thay , từ giả thiết suy ra mối liên hệ giữa  và . Các dạng quỹ tích thường gặp: - Đường thẳng . - Đường tròn: , trong đó  là tâm và bán kính . - Elip . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 4.1 (Đề minh họa 2017 Lần 1)     Cho số phức  thỏa mãn . Hỏi điểm biểu diễn     của  là điểm nào trong các điểm  ở hình bên?         A. Điểm M.                                  B. Điểm N.     C. Điểm P.                                   D. Điểm Q.                             Lời giải: Gọi . Khi đó Chọn D. Ví dụ 4.2 (THPT Gia Lộc II) Cho số phức  thỏa mãn . Xác định điểm A biểu diễn số phức liên hợp .     A. .                B. .                 C. .                   D. . Lời giải: Ta có         . Chọn đáp án D. Ví dụ 4.3 (THPT Gia Lộc II) Cho số phức . Tìm  để điểm biểu diễn của số phức  nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.     A. .                     B. .                    C. .                    D. . Lời giải: . Chọn A. Ví dụ 4.4: Cho hình vuông  có tâm  và  lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức . Biết  và số phức  có phần ảo dương. Khi đó, mô đun của số phức  là     A. .                        B. .                        C. .                       D. . Lời giải: Do  là hình vuông và có tâm  nên ta có . Do điểm  biểu diễn số phức , điểm  biểu diễn số phức  Đường thẳng  nhận  làm VTPT nên có phương trình là . Do . Ta có:                   . Vậy . Chọn D. Ví dụ 4.5 (THPT Chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho  thỏa mãn . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức  là đường tròn , bán kính . Khi đó:     A. .                         B. .     C. .                               D. . Lời giải: Giả sử  và  với . Lại có . Gọi . Khi đó: . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức  là đường tròn . Khi đó chỉ có chọn C là có khả năng đúng và theo đó . Thử  vào phương trình thì thỏa mãn. Chọn C. Ví dụ 4.6 (THPT Gia Lộc II) Cho số phức  thỏa mãn . Biết rằng trong mặt phẳng tọa độ , tập hợp các điểm biểu diễn số phức  là một đường tròn. Hãy xác định tọa độ tâm  của đường tròn đó.     A. .                  B. .                     C. .                    D. . Lời giải: Giả sử , suy ra  là điểm biểu diễn cho số phức . Ta có  Chọn D. Ví dụ 4.7 (THPT Hai Bà Trưng – Huế) Tìm tập hợp các điểm  biểu diễn hình học số phức  trong mặt phẳng phức, biết số phức  thỏa mãn điều kiện .     A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm  và có bán kính .     B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình .     C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm  trong mặt phẳng  thỏa mãn phương trình .     D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình là . Lời giải: Gọi  là điểm biểu diễn của số phức . Gọi  là điểm biểu diễn số phức . Gọi  là điểm biểu diễn số phức . Khi đó . Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm  là elip nhận  là các tiêu điểm. Gọi phương trình của elip là . Từ (*) ta có . . Quỹ tích các điểm  là . Chọn D. Ví dụ 4.8: Cho các số phức  thỏa mãn . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức  là một đường tròn. Tính bán kính  của đường tròn đó.     A. .                   B. .                    C. .                   D. . Lời giải: Gọi . Ta có:                      . Mà  nên . Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức  là một đường tròn nên ta có . Chọn C. Dạng 5. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất A. Phương pháp - Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức . - Các bất đẳng thức thường gặp: + , dấu ” = ” xảy ra khi  với . + , dấu ” = ” xảy ra khi  với . + , dấu ” = ” xảy ra khi  với . + , dấu ” = ” xảy ra khi  với . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 5.1 (THPT Gia Lộc II) Cho số phức  thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .     A. 6.                        B. 4.                        C. 3.                         D. 5. Lời giải: Cách 1: Ta có . Chọn B. Cách 2:     Giả sử . Ta có  Ta có . Suy ra tập hợp các điểm  biểu diễn số phức  đã cho là đường tròn tâm  và có bán kính .      nhỏ nhất  nhỏ nhất (tức là  gần  nhất). . Hỏi thêm: Tìm .  lớn nhất  lớn nhất (tức là  xa  nhất).  Ví dụ 5.2 (THPT Hà Huy Tập – Nghệ An) Cho số phức  thỏa mãn . Tìm mô đun nhỏ nhỏ nhất của số phức .     A. .                      B. .                      C. .                      D. . Lời giải: Giả sử . Khi đó:   . Chọn C. Ví dụ 5.3 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa) Cho số phức , tìm giá trị lớn nhất của  biết rằng thỏa mãn điều kiện .     A. 3.                           B. .                        C. .                        D. 1. Lời giải: Gọi . Ta có . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức  là đường tròn tâm , bán kính . Gọi  là điểm biểu diễn số phức , ta có . Ta có . Chọn C. Ví dụ 5.4: Cho số phức . Biết tập hợp các điểm  biểu diễn hình học số phức  là đường tròn  có tâm  và có bán kính . Đặt  là giá trị lớn nhất,  là giá trị nhỏ nhất của . Tính giá trị của .     A. .        B. .        C. .        D. . Lời giải: Cách 1: Phương trình đường tròn . Do điểm  nằm trên đường tròn  nên ta có . Mặt khác . . Ta có . . Khi đó . Vậy . Chọn B. Cách 2: Ta có . Ví dụ 5.5 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) Cho số phức  thỏa mãn . Tính  với .     A. .          B. .          C. .           D. . Lời giải: Ta có . Khi đó, giả thiết                         . Với  ta có . Với , đặt , ta có        Do đó . Chọn A. Ví dụ 5.6: Trong các số phức  thỏa mãn điều kiện . Biết rằng số phức  có mô đun nhỏ nhất. Tính .     A. .            B. .               C. .               D. . Lời giải: Gọi . Ta có . Do đó . Đẳng thức xảy ra . Vậy . Chọn B.