Số phức và các phép toán

SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN

A. Lý thuyết cơ bản

1. Số phức

Số phức $z$ là một biểu thức có dạng $z=a+bi$ trong đó $a,b\in \mathbb{R}$ và ${{i}^{2}}=-1$ .

Trong đó:

+ $i$ là đơn vị ảo.
+ $a$ là phần thực của $z$ .
+ $b$ là phần ảo.

Tập hợp các số phức, kí hiệu là $\mathbb{C}$ .

Chú ý:

+ 0 là số phức có phần thực và phần ảo đều bằng 0.
+ Số phức $z$ là số thực nếu $b=0\Rightarrow z=a$ .
+ Số phức $z$ là số thuần ảo nếu $a=0\Rightarrow z=bi$ .

Hai số phức $z=a+bi,\,\,z'=a'+b'i$ bằng nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=a'\\b=b'\end{array} \right.$ .

2. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của $z=a+bi$ là $\overline{z}=a-bi$ .

Nhận xét:

+ $\overline{(\overline{z})}=z$ .
+ $\overline{z\pm z'}=\overline{z}\pm \overline{z'}$ .
+ $\overline{z.z'}=\overline{z}.\overline{z'}$ .

3. Mô đun của số phức

Mô đun của số phức $z=a+bi$ là $|z|\,=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ .

Nhận xét : + $|z|\,=\,|\overline{z}|$ . + $|z.z'|\,=\,|z|.z'|$ .

+ $|z\pm z'|\,=\,|z|\pm |z'|$ . + $|\frac{z}{z'}|\,=\frac{|z|}{|z'|}$ .

4. Biểu diễn hình học số phức

Điểm $M(x;y)$ trong một hệ tọa độ Oxy được gọi là một điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$ .

5. Các phép toán

Cho $z=a+bi$ và $z'=a'+b'i$ ta có:

$z\pm z'=(a+bi)\pm (a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i$ .

$z.z'=(a+bi)(a'+b'i)=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i$ .

$\frac{z}{z'}=\frac{z.\overline{z'}}{z'.\overline{z'}}=\frac{z.\overline{z'}}{|z'{{|}^{2}}}$ .

B. Bài tập

Dạng 1. Các phép toán trên tập số phức

A. Phương pháp

- Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức.
- Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức…

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tìm số phức liên hợp của: $z=(1+i)(3-2i)+\frac{1}{3+i}$ .

Lời giải:

Ta có : $z=5+i+\frac{3-i}{(3+i)(3-i)}=5+i+\frac{3-i}{10}$ .

Suy ra số phức liên hợp của z là: $\overline{z}=\frac{53}{10}-\frac{9}{10}i$ .

Ví dụ 1.2: Tìm mô đun của số phức $z=\frac{(1+i)(2-i)}{1+2i}$ .

Lời giải:

Ta có : $z=\frac{5+i}{5}=1+\frac{1}{5}i$ .

Vậy, mô đun của z bằng: $\left| z \right|=\sqrt{1+{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{26}}{5}$ .

Ví dụ 1.3: Cho số phức z = $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$ . Tính các số phức sau: $\overline{z}$ ; z²; ( $\overline{z}$ )³; 1 + z + z²

Lời giải:

Vì z = $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$ Þ $\overline{z}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$

Ta có z² = ${{\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \right)}^{2}}$ = $\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{1}{4}{{i}^{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ = $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

( $\overline{z}$ )² = ${{\left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right)}^{2}}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}{{i}^{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

( $\overline{z}$ )³ =( $\overline{z}$ )² . $\overline{z}$ = $\left( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \right)\left( \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}i+\frac{3}{4}i-\frac{\sqrt{3}}{4}=i$

Ta có: 1 + z + z² = $1+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\frac{3+\sqrt{3}}{2}-\frac{1+\sqrt{3}}{2}i$

Ví dụ 1.4: Tìm phần ảo của z biết: $\displaystyle z+3\overline{z}={{\left( 2+i \right)}^{3}}\left( 2-i \right)\,\,(1)$

Lời giải:

Giả sử z = a+bi.

$\displaystyle (1)\Leftrightarrow a+bi+3a-3bi=\left( 8+12i+6{{i}^{2}}+{{i}^{3}} \right)\left( 2-i \right)=\left( 2+11i \right).\left( 2-i \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow 4a-2bi=4-2i+22i-11{{i}^{2}}=20i+15$ $\displaystyle \Leftrightarrow a=\frac{15}{4};b=-10$ .

Vậy phần ảo của z bằng -10.

Ví dụ 1.5: Cho $\displaystyle {{z}_{1}}=3+i,{{z}_{2}}=2-i$ . Tính $\displaystyle \left| {{z}_{1}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|$

Lời giải:

$\displaystyle {{z}_{1}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}=3+i+\left( 3+i \right)\left( 2-i \right)=10=10+0i$ $\displaystyle \Rightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{10}^{2}}+{{0}^{2}}}=10$

Ví dụ 1.6: Cho $\displaystyle {{z}_{1}}=2+3i,\,\,\,{{z}_{2}}=1+i$ . Tính $\displaystyle \left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ ; $\displaystyle \left| \frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{2}}} \right|$ ; $\displaystyle \left| {{z}_{1}}^{3}+3{{z}_{2}} \right|$

Lời giải:

+) $\displaystyle {{z}_{1}}+3{{z}_{2}}=2+3i+3+3i=5+6i$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{5}^{2}}+{{6}^{2}}}=\sqrt{61}$

+) $\displaystyle \frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{2}}}=\frac{3+4i}{1+i}=\frac{\left( 3+4i \right)\left( 1-i \right)}{1-{{i}^{2}}}=\frac{7+i}{2}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \left| \frac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{2}}} \right|=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

+) $\displaystyle {{z}_{1}}^{3}+3{{z}_{2}}=8+36i+54{{i}^{2}}+27{{i}^{3}}-3-3i=-49+6i$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \left| {{z}_{1}}^{3}+3{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2437}$

Ví dụ 1.7 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017)

Cho $a,b,c$ là các số thực và $z=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Giá trị của $(a+bz+c{{z}^{2}})(a+b{{z}^{2}}+cz)$ bằng

A. $a+b+c$ . B. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca$ .

C. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca$ . D. 0.

Lời giải:

Ta có $z=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{z}^{2}}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=\overline{z}$ và ${{\overline{z}}^{2}}=z,\,\,z+\overline{z}=-1,\,\,z.\overline{z}=\,|z|\,=1$ .

Khi đó $\displaystyle (a+bz+c{{z}^{2}})(a+b{{z}^{2}}+cz)=(a+bz+c\overline{z})(a+b\overline{z}+cz)$

$={{a}^{2}}+ab\overline{z}+acz+abz+{{b}^{2}}z\overline{z}+bc{{z}^{2}}+ac\overline{z}+bc{{\overline{z}}^{2}}+{{c}^{2}}z\overline{z}$

$={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-ac-bc$

Chọn B.

Dạng 2. Tính ${{i}^{n}}$ và áp dụng

A. Phương pháp

- Nếu $n$ nguyên dương thì ${{i}^{4n}}=1;\,\,{{i}^{4n+1}}=i;\,\,{{i}^{4n+2}}=-1;\,\,{{i}^{4n+3}}=-i$ .
- Nếu $n$ nguyên âm thì ${{i}^{n}}={{\left( {{i}^{-1}} \right)}^{-n}}{{\left( \frac{1}{i} \right)}^{-n}}={{(-i)}^{-n}}$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Tính số phức $z={{(1+i)}^{15}}$

Lời giải:

Ta có: (1 + i)² = 1 + 2i – 1 = 2i Þ (1 + i)¹⁴ = (2i)⁷= 128.i⁷= -128.i

z = (1+i)¹⁵= (1+i)¹⁴(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

Ví dụ 2.2: Tính số phức z = $\displaystyle {{\left( \frac{1+i}{1-i} \right)}^{16}}+{{\left( \frac{1-i}{1+i} \right)}^{8}}$

Lời giải:

Ta có: $\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{2}=\frac{2i}{2}=i$

$\frac{1-i}{1+i}=-i$ . Vậy $\displaystyle {{\left( \frac{1+i}{1-i} \right)}^{16}}+{{\left( \frac{1-i}{1+i} \right)}^{8}}$ =i¹⁶ +(-i)⁸ = 2.

Ví dụ 2.3: Tính $S=1+i+{{i}^{2}}+{{i}^{3}}+...+{{i}^{2012}}$ .

Lời giải:

Cách 1:

Ta có $S=1+i+{{i}^{2}}+{{i}^{3}}+...+{{i}^{2012}}$ $\Rightarrow iS=i+{{i}^{2}}+{{i}^{3}}+{{i}^{4}}+...+{{i}^{2012}}+{{i}^{2013}}$ .

Suy ra $S-iS=1-{{i}^{2013}}\Rightarrow S=\frac{1-{{i}^{2013}}}{1-i}=\frac{1-i}{1-i}=1$ .

Cách 2:

Dãy số $1;\,i;\,{{i}^{2}};\,{{i}^{3}};\,...;\,{{i}^{2012}}$ lập thành một cấp số nhân gồm 2013 số hạng, có công bội là $i$ , số hạng đầu là 1.

Do đó $S=1+i+{{i}^{2}}+{{i}^{3}}+...+{{i}^{2012}}=1.\frac{1-{{i}^{2013}}}{1-i}=1$ .

Ví dụ 2.4: Cho số phức $z={{\left( \frac{1+i}{1-i} \right)}^{2017}}$ . Tính ${{z}^{5}}+{{z}^{6}}+{{z}^{7}}+{{z}^{8}}$ .

A. $i$ . B. 1. C. 0. D. $-i$ .

Lời giải:

Ta có $\frac{1+i}{1-i}=\frac{{{(1+i)}^{2}}}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+{{i}^{2}}}{1-{{i}^{2}}}=\frac{2i}{2}=i$ .

$\Rightarrow z={{i}^{2017}}={{i}^{4.504+1}}=i$ .

Chọn A.

Ví dụ 2.5: Phần thực của số phức $z={{(1+i)}^{2012}}+{{(1-i)}^{2012}}$ có dạng $-{{2}^{a}}$ với $a$ bằng

A. 1007. B. 1006. C. 2012. D. 2013.

Lời giải:

$z={{(1+i)}^{2012}}+{{(1-i)}^{2012}}={{\left[ {{(1+i)}^{2}} \right]}^{1006}}+{{\left[ {{(1-i)}^{2}} \right]}^{1006}}$ $={{(2i)}^{1006}}+{{(-2i)}^{1006}}=-{{2}^{1007}}$ .

Chọn A.

Ví dụ 2.6: Phần ảo của số phức ${{\left( \frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i \right)}^{2017}}$ bằng

A. $-\frac{\sqrt{3}}{{{2}^{2018}}}$ . B. $\frac{1}{{{2}^{2018}}}$ . C. $\frac{\sqrt{3}}{{{2}^{2017}}}$ . D. 0.

Lời giải:

Ta có ${{\left( \frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i \right)}^{2017}}={{\left( {{\left( \frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i \right)}^{3}} \right)}^{672}}.\left( \frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i \right)$ $={{\left( \frac{-1}{8} \right)}^{672}}.\left( \frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i \right)=\frac{1}{{{2}^{2018}}}-\frac{\sqrt{3}}{{{2}^{2018}}}i$ .

Chọn A.

Ví dụ 2.7 (THPT Hai Bà Trưng – Huế) Tính $S=1009+i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+...+2017{{i}^{2017}}$ .

A. $S=2017-1009i$ . B. $1009+2017i$ .

C. $2017+1009i$ . D. $1008+1009i$ .

Lời giải:

Ta có $S=1009+i+2{{i}^{2}}+3{{i}^{3}}+...+2017{{i}^{2017}}$

$=1009+(4{{i}^{4}}+8{{i}^{8}}+...+2016{{i}^{2016}})+(i+5{{i}^{5}}+9{{i}^{9}}+...+2017{{i}^{2017}})+$

$+(2{{i}^{2}}+6{{i}^{6}}+10{{i}^{10}}+...+2014{{i}^{2014}})+(3{{i}^{3}}+7{{i}^{7}}+11{{i}^{11}}+...+2015{{i}^{2015}})$

$=1009+\sum\limits_{n}^{504}{(4n)}+i\sum\limits_{n=1}^{505}{(4n-3)}-\sum\limits_{n=1}^{504}{(4n-2)}-i\sum\limits_{n=1}^{504}{(4n-1)}$

$\begin{array}{l}=1009+509040+509545i-508032-508536i\\=2017+1009i\end{array}$

Chọn C.

Dạng 3. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

A. Phương pháp

+ Gọi $z=a+bi\,(a,b\in \mathbb{R})$ . Thay vào giả thiết ta được hệ hai phương trình hai ẩn $a,b$ .
+ Giải hệ phương trình để tìm $a,b$ .
+ Kết luận.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1 (THPT Chuyên KHTN – Hà Nội)

Cho số phức $z$ thỏa mãn $(2+3i)z-(1+2i)\overline{z}=7-i$ . Tìm mô đun của $z$ .

A. $|z|\,=\sqrt{5}$ . B. $|z|\,=1$ . C. $|z|\,=\sqrt{3}$ . D. $|z|\,=2$ .

Lời giải:

Đặt $z=a+bi,\,\,a,b\in \mathbb{R}$ . Ta có:

$(2+3i)z-(1+2i)\overline{z}=7-i$ $\Leftrightarrow (2+3i)(a+bi)-(1+2i)(a-bi)=7-i$

$\Leftrightarrow 2a-3b+(3a+2b)i-a-2b-(2a-b)i=7-i$

$\Leftrightarrow a-5b+(a+3b)i=7-i$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a-5b=7\\a+3b=-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=2\\b=-1\end{array} \right.$

Vậy $|z|\,=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5}$ .

Chọn A.

Ví dụ 3.2 (THPT Hai Bà Trưng – Huế) Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${{z}^{2}}=\,|z{{|}^{2}}+\overline{z}$ .

A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.

Lời giải:

Gọi $z=a+bi\,(a,b\in \mathbb{R})$ .

Khi đó ${{z}^{2}}=\,|z{{|}^{2}}+\overline{z}\Leftrightarrow {{(a+bi)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+a-bi$

$\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}+a-bi-2abi=0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{{b}^{2}}+a=0\\-b-2ab=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{{b}^{2}}+a=0\\b(1+2a)=0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b=0,a=0\\a=-\frac{1}{2},b=\pm \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy có 3 số phức thỏa mãn đề bài là $z=0,\,z=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i,\,z=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$ .

Chọn A.

Ví dụ 3.3 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa) Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn đồng thời điều kiện $|z.\overline{z}+z|\,=2$ và $|z|\,=2$ .

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.

Lời giải:

Giả sử $z=x+yi\,\,(x,y\in \mathbb{R})$ . Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| z.\overline{z}+z \right|\,=2\\|z|\,=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}|{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+yi|\,=2\\\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}|(4+x)+yi|\,=2\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{(4+x)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x+16=0\\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=-2\\y=0\end{array} \right.\end{array}$

Vậy có đúng một số phức thỏa mãn đề bài. Chọn D.

Ví dụ 3.4: Tìm số phức $z$ thỏa mãn các điều kiện sau:

a) $\left| \frac{z-1}{z-i} \right|=1$ và $\left| \frac{z-3i}{z+i} \right|=1$ . b) $|z|\,=\,|z-2-2i|$ và $\frac{z-2i}{z-2}$ là số thuần ảo.

Lời giải:

a) Gọi $z=a+bi\,(a,b\in \mathbb{R})$ .

Ta có $\left| \frac{z-1}{z-i} \right|=1\Leftrightarrow \left| \frac{(a-1)+bi}{a+(b-1)i} \right|=1\Leftrightarrow \left| (a-1)+bi \right|\,=\,\left| a+(b-1)i \right|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{(a-1)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{(a-1)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a+1+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b+1$ $\Leftrightarrow -2a=-2b\Leftrightarrow a=b\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

$\left| \frac{z-3i}{z+i} \right|=1\Leftrightarrow \,\left| \frac{a+(b-3)i}{a+(b+1)i} \right|=1$ $\Leftrightarrow |a+(b-3)i|\,=\,|a+(b+1)i|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}}\Leftrightarrow {{(b-3)}^{2}}={{(b+1)}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b-3=b+1\\3-b=b+1\end{array} \right.\Leftrightarrow b=1\Rightarrow a=1$ .

b) $|z|\,=\,|z-2-2i|$ và $\frac{z-2i}{z-2}$ là số thuần ảo.

Gọi $z=a+bi\,(a,b\in \mathbb{R})$ .

Ta có $|z|\,=\,|z-2-2i|\,\Leftrightarrow \,|a+bi|\,=\,|(a-2)+(b-2)i|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{(a-2)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{(a-2)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}$

$\Leftrightarrow -4a+4-4b+4=0\Leftrightarrow a+b=2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

$\displaystyle \frac{z-2i}{z-2}=\frac{a+(b-2)i}{(a-2)+bi}=\frac{\left[ a+(b-2)i \right]\left[ (a-2)-bi \right]}{\left[ (a-2)+bi \right]\left[ (a-2)-bi \right]}$

$\displaystyle =\frac{a(a-2)+b(b-2)}{\left[ (a-2)+bi \right]\left[ (a-2)-bi \right]}+\frac{\left[ ab+(a-2)(b-2) \right]i}{\left[ (a-2)+bi \right]\left[ (a-2)-bi \right]}$

$\frac{z-2i}{z-2}$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \frac{a(a-2)+b(b-2)}{\left[ (a-2)+bi \right]\left[ (a-2)-bi \right]}=0$ $\Leftrightarrow a(a-2)+b(b-2)=0$ (3)

Từ (2) suy ra $b=2-a$ thay vào (3) ta được:

$a(a-2)+(2-a)(2-a-2)=0$ $\Leftrightarrow a(a-2)+a(a-2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a=0,\,b=2\\a=2,\,b=0\end{array} \right.$

Vậy có hai số phức thỏa mãn yêu cầu bài là $z=2i,\,z=2$ .

Dạng 4. Biểu diễn số phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức

A. Phương pháp

Giả sử $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi\,\,(x,y\in \mathbb{R})$ . Thay $z=x+yi$ , từ giả thiết suy ra mối liên hệ giữa $x$ và $y$ .

Các dạng quỹ tích thường gặp:

- Đường thẳng $Ax+By+C=0$ .
- Đường tròn: ${{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}={{R}^{2}}$ , trong đó $I(a;b)$ là tâm và bán kính $R$ .
- Elip $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 4.1 (Đề minh họa 2017 Lần 1)

Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1+i)z=3-i$ . Hỏi điểm biểu diễn

của $z$ là điểm nào trong các điểm $M,N,P,Q$ ở hình bên?

A. Điểm M. B. Điểm N.

C. Điểm P. D. Điểm Q.

Lời giải:

Gọi $z=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R})$ . Khi đó

$(1+i)z=3-i\Leftrightarrow (x-y-3)+(x+y+1)i=0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-y-3=0\\x+y+1=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=-2\end{array} \right.\Rightarrow Q(1;-2)$

Chọn D.

Ví dụ 4.2 (THPT Gia Lộc II) Cho số phức $z$ thỏa mãn $iz=1+2i-\frac{1+7i}{1-3i}$ . Xác định điểm A biểu diễn số phức liên hợp $\overline{z}$ .

A. $A(-1;3)$ . B. $A(-1;-3)$ . C. $A(1;-3)$ . D. $A(1;3)$ .

Lời giải:

Ta có $iz=1+2i-\frac{1+7i}{1-3i}\Leftrightarrow iz=1+2i-(-2+i)$

$\Leftrightarrow iz=3+i\Leftrightarrow z=\frac{3+i}{i}=1-3i\Rightarrow \overline{z}=1+3i$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 4.3 (THPT Gia Lộc II) Cho số phức $z=m+(m-3)i,\,\,m\in \mathbb{R}$ . Tìm $m$ để điểm biểu diễn của số phức $z$ nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.

A. $m=\frac{3}{2}$ . B. $m=\frac{1}{2}$ . C. $m=\frac{2}{3}$ . D. $m=0$ .

Lời giải:

$z=m+(m-3)i\Rightarrow M(m;m-3)\in d:\,y=-x\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}$ .

Chọn A.

Ví dụ 4.4: Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $H$ và $A,B,C,D,H$ lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức $a,b,c,d,h$ . Biết $a=-2+i,\,h=1+3i$ và số phức $b$ có phần ảo dương. Khi đó, mô đun của số phức $b$ là

A. $\sqrt{13}$ . B. $\sqrt{10}$ . C. $\sqrt{26}$ . D. $\sqrt{37}$ .

Lời giải:

Do $ABCD$ là hình vuông và có tâm $H$ nên ta có $HB\bot AH,\,HB=AH$ .

Do điểm $A$ biểu diễn số phức $a=-2+i\Rightarrow A(-2;1)$ , điểm $H$ biểu diễn số phức $h=1+3i\Rightarrow H(1;3)$

Đường thẳng $BH$ nhận $\overrightarrow{AH}(3;2)$ làm VTPT nên có phương trình là

$3(x-1)+2(y-3)=0\Leftrightarrow 3x+2y-9=0$ .

Do $B\in BH\Rightarrow B\left( \frac{9-2m}{3};m \right),\,m>0$ .

Ta có:

$A{{H}^{2}}=B{{H}^{2}}\Leftrightarrow {{3}^{2}}+{{2}^{2}}={{\left( \frac{9-2m}{3}-1 \right)}^{2}}+{{(m-3)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 13{{m}^{2}}-78m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=0\\m=6\end{array} \right.\Rightarrow m=6$ .

Vậy $b=-1+6i\Rightarrow |b|=\sqrt{37}$ .

Chọn D.

Ví dụ 4.5 (THPT Chuyên Quang Trung – Bình Phước)

Cho $z\in \mathbb{C}$ thỏa mãn $(2+i)|z|\,=\frac{\sqrt{10}}{z}+1-2i$ . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $\displaystyle \text{w}=(3-4i)z-1+2i$ là đường tròn $I$ , bán kính $R$ . Khi đó:

A. $I(-1;-2),\,R=\sqrt{5}$ . B. $I(1;2),\,R=\sqrt{5}$ .

C. $I(-1;2),\,R=5$ . D. $I(1;-2),\,R=5$ .

Lời giải:

Giả sử $z=a+bi$ và $|z|\,=c>0$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$ .

Lại có $\displaystyle \text{w}=(3-4i)z-1+2i\Leftrightarrow z=\frac{\text{w}+1-2i}{3-4i}$ .

Gọi $\text{w}=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R})$ . Khi đó:

$|z|\,=c\Rightarrow \left| \frac{\text{w}+1-2i}{3-4i} \right|\,=c\Leftrightarrow \frac{|\text{w}+1-2i|}{|3-4i|}=c$ $\Leftrightarrow \,|x+yi+1-2i|\,=5c$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}}=5c\Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=25{{c}^{2}}$ .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $\displaystyle \text{w}$ là đường tròn $I(-1;2)$ .

Khi đó chỉ có chọn C là có khả năng đúng và theo đó $R=5\Rightarrow 5c=5\Rightarrow c=1$ .

Thử $c=1$ vào phương trình thì thỏa mãn.

Chọn C.

Ví dụ 4.6 (THPT Gia Lộc II) Cho số phức $z$ thỏa mãn $|iz-2i|\,=\,|1-2i|$ . Biết rằng trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là một đường tròn. Hãy xác định tọa độ tâm $I$ của đường tròn đó.

A. $I(0;2)$ . B. $I(0;-2)$ . C. $I(-2;0)$ . D. $I(2;0)$ .

Lời giải:

Giả sử $z=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R})$ , suy ra $M(x;y)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z$ .

Ta có $|iz-2i|\,=\,|1-2i|\Leftrightarrow \,|i(x+iy)-2i|\,=\,|1-2i|\,$

$\Leftrightarrow |-y+(x-2)i|\,=\,|1-2i|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}=5$

Chọn D.

Ví dụ 4.7 (THPT Hai Bà Trưng – Huế) Tìm tập hợp các điểm $M$ biểu diễn hình học số phức $z$ trong mặt phẳng phức, biết số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z+4|+|z-4|\,=10$ .

A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm $O(0;0)$ và có bán kính $R=4$ .

B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình $\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{25}=1$ .

C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm $M(x;y)$ trong mặt phẳng $Oxy$ thỏa mãn phương trình $\sqrt{{{(x+4)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{(x-4)}^{2}}+{{y}^{2}}}=12$ .

D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình là $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$ .

Lời giải:

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z=x+yi$ .

Gọi $A(4;0)$ là điểm biểu diễn số phức $z=4$ .

Gọi $B(-4;0)$ là điểm biểu diễn số phức $z=-4$ .

Khi đó $|z+4|+|z-4|\,=10\Leftrightarrow MA+MB=10\,\,\,(*)$ .

Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm $M$ là elip nhận $A,B$ là các tiêu điểm.

Gọi phương trình của elip là $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,\,(a>b>0,\,{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}})$ .

Từ (*) ta có $2a=10\Leftrightarrow a=5$ .

$AB=2c\Leftrightarrow 8=2c\Leftrightarrow c=4\Rightarrow {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=9$ .

Quỹ tích các điểm $M$ là $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$ .

Chọn D.

Ví dụ 4.8: Cho các số phức $z$ thỏa mãn $|z|\,=4$ . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $\displaystyle \text{w}=(3+4i)z+i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó.

A. $r=4$ . B. $r=5$ . C. $r=20$ . D. $r=22$ .

Lời giải:

Gọi $\displaystyle \text{w}=a+bi,\,(a,b\in \mathbb{R})$ . Ta có:

$\displaystyle \text{w}=a+bi=(3+4i)z+i$ $\displaystyle \Leftrightarrow z=\frac{a+(b-1)i}{3+4i}=\frac{\left[ a+(b-1)i \right](3-4i)}{9-16{{i}^{2}}}$

$=\frac{3a+4b-4}{25}+\frac{(3b-4a-3)}{25}.i$ $\Rightarrow |z|\,=\,\frac{\sqrt{{{(3a+4b-4)}^{2}}+{{(3b-4a-3)}^{2}}}}{25}$ .

Mà $|z|\,=4$ nên ${{(3a+4b-4)}^{2}}+{{(3b-4a-3)}^{2}}={{100}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b=399$ .

Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $\displaystyle \text{w}=(3+4i)z+i$ là một đường tròn nên ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b=399\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=400\Rightarrow r=\sqrt{400}=20$ .

Chọn C.

Dạng 5. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất

A. Phương pháp

- Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ .
- Các bất đẳng thức thường gặp:
- + $\displaystyle \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\,\le \,|{{z}_{1}}|+|{{z}_{2}}|$ , dấu ” = ” xảy ra khi ${{z}_{1}}=k{{z}_{2}}$ với $k\ge 0$ .
- + $\displaystyle \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\,\le \,|{{z}_{1}}|+|{{z}_{2}}|$ , dấu ” = ” xảy ra khi ${{z}_{1}}=k{{z}_{2}}$ với $k\le 0$ .
- + $\displaystyle \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\,\ge \,\left| |{{z}_{1}}|-|{{z}_{2}}| \right|$ , dấu ” = ” xảy ra khi ${{z}_{1}}=k{{z}_{2}}$ với $k\le 0$ .
- + $\displaystyle \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\,\ge \,\left| |{{z}_{1}}|-|{{z}_{2}}| \right|$ , dấu ” = ” xảy ra khi ${{z}_{1}}=k{{z}_{2}}$ với $k\ge 0$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 5.1 (THPT Gia Lộc II) Cho số phức $z$ thỏa mãn $|iz+4-3i|\,=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$ .

A. 6. B. 4. C. 3. D. 5.

Lời giải:

Cách 1:

Ta có $1=\,|z-(3+4i)|\,\ge |3+4i|\,-|z|=5-|z|\Leftrightarrow |z|\ge 5-1=4$ .

Chọn B.

Cách 2:

Giả sử $z=x+yi\,\,(x,y\in \mathbb{R})$ .

Ta có $|iz+4-3i|\,=1\Leftrightarrow \,|i(x+yi)+4-3i|\,=1$ $\Leftrightarrow \,|(4-y)+(x-3)i|\,=1$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{(4-y)}^{2}}+{{(x-3)}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=1$

Ta có $OI=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$ .

Suy ra tập hợp các điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức

$z$ đã cho là đường tròn tâm $I(3;4)$ và có bán kính $R=1$ .

$|z|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow OM$ nhỏ nhất (tức là $M$ gần $O$ nhất).

$\Leftrightarrow M\equiv {{M}_{1}}\Rightarrow |z{{|}_{\min }}\,=O{{M}_{1}}=OI-I{{M}_{1}}=4$ .

Hỏi thêm: Tìm $\max |z|$ .

$|z|$ lớn nhất $\Leftrightarrow OM$ lớn nhất (tức là $M$ xa $O$ nhất) $\Leftrightarrow M\equiv {{M}_{2}}\Rightarrow |z{{|}_{\max }}\,=O{{M}_{2}}=OI+I{{M}_{2}}=6$ .

Ví dụ 5.2 (THPT Hà Huy Tập – Nghệ An) Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-1|\,=\,|z-i|$ . Tìm mô đun nhỏ nhỏ nhất của số phức $\displaystyle \text{w}=2z+2-i$ .

A. $\frac{3}{2\sqrt{2}}$ . B. $3\sqrt{2}$ . C. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ . D. $\frac{3}{2}$ .

Lời giải:

Giả sử $z=a+bi\,\,(a,b\in \mathbb{R})\,\Rightarrow \overline{z}=a-bi$ . Khi đó: $|z-1|\,=\,|z-i|\Leftrightarrow |a-1+bi|\,=\,|a+(b-1)i|$

$\Leftrightarrow {{(a-1)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}\Leftrightarrow a-b=0$ .

$\displaystyle \text{w}=2z+2-i=2(a+ai)+2-i=(2a+2)+i(a-1)$

$\displaystyle \Rightarrow |\text{w}|\,=\sqrt{{{(2a+2)}^{2}}+{{(2a-1)}^{2}}}=\sqrt{8{{a}^{2}}+4a+5}\ge \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Chọn C.

Ví dụ 5.3 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa) Cho số phức $z$ , tìm giá trị lớn nhất của $|z|$ biết rằng $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \frac{-2-3i}{3-2i}z+1 \right|=1$ .

A. 3. B. $\sqrt{2}$ . C. $2$ . D. 1.

Lời giải:

Gọi $z=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R})$ . Ta có $\left| \frac{-2-3i}{3-2i}z+1 \right|\,=1\Leftrightarrow |-iz+1|\,=1$ $\Leftrightarrow |z+i|\,=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=1$ .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(0;-1)$ , bán kính $R=1$ .

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$ , ta có $IM=1$ .

Ta có $|z|\,=OM\le OI+IM\le 2$ .

Chọn C.

Ví dụ 5.4: Cho số phức $z=a+bi\,(a,b\in \mathbb{R})$ . Biết tập hợp các điểm $A$ biểu diễn hình học số phức $z$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(4;3)$ và có bán kính $R=3$ . Đặt $M$ là giá trị lớn nhất, $m$ là giá trị nhỏ nhất của $F=4a+3b-1$ . Tính giá trị của $M+m$ .

A. $M+m=63$ . B. $M+m=48$ . C. $M+m=50$ . D. $M+m=41$ .

Lời giải:

Cách 1:

Phương trình đường tròn $(C):\,\,{{(x-4)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}=9$ .

Do điểm $A$ nằm trên đường tròn $(C)$ nên ta có ${{(a-4)}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=9$ .

Mặt khác $F=4a+3b-1=4(a-4)+3(b-3)+24$ .

$F-24=4(a-4)+3(b-3)$ .

Ta có ${{\left[ 4(a-4)+3(b-3) \right]}^{2}}\le ({{4}^{2}}+{{3}^{2}})\left[ {{(a-4)}^{2}}+{{(b-3)}^{2}} \right]=25.9=225$ .

$\Rightarrow -15\le 4(a-4)+3(b-3)\le 15\Leftrightarrow -15\le F-24\le 15\Leftrightarrow 9\le F\le 39$ .

Khi đó $M=39,\,m=9$ .

Vậy $M+m=48$ .

Chọn B.

Cách 2:

Ta có $F=4a+3b-1\Rightarrow a=\frac{F+1-3b}{4}$ .

${{(a-4)}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=9$ $\Rightarrow {{\left( \frac{F+1-3b}{4}-4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-6b+9=9$

$\Leftrightarrow 25{{b}^{2}}-2(3F+3)+{{F}^{2}}+225=0$

$\Delta '={{(3F+3)}^{2}}-25{{F}^{2}}-5625$

$\Delta '\ge 0\Leftrightarrow -16{{F}^{2}}+18F-5625\ge 0\Leftrightarrow 9\le F\le 39$

Ví dụ 5.5 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai) Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}-2z+5 \right|\,=\left| (z-1+2i)(z+3i-1) \right|$ . Tính $\displaystyle \min |\text{w }\!\!|\!\!\text{ }$ với $\displaystyle \text{w}=z-2+2i$ .

A. $\displaystyle \min |\text{w }\!\!|\!\!\text{ }\,=\frac{3}{2}$ . B. $\displaystyle \min |\text{w }\!\!|\!\!\text{ }\,=2$ . C. $\displaystyle \min |\text{w }\!\!|\!\!\text{ }\,=1$ . D. $\displaystyle \min |\text{w }\!\!|\!\!\text{ }\,=\frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Ta có ${{z}^{2}}-2z+5={{(z-1)}^{2}}+4={{(z-1)}^{2}}-{{(2i)}^{2}}$ $=(z-1+2i)(z-1-2i)$ .

Khi đó, giả thiết $\Leftrightarrow \,|(z-1+2i)(z-1-2i)|\,=\,|(z-1+2i)(z+3i-1)|$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=1-2i\\|z-1-2i|\,=\,|z+3i-1|\end{array} \right.$ .

Với $z=1-2i$ ta có $\displaystyle \text{w}=z-2+2i=1-2i-2+2i=-1\Rightarrow \,|\text{w}|\,=1$ .
Với $|z-1-2i|\,=\,|z+3i-1|\,\,\,\,\,(*)$ , đặt $z=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R})$ , ta có

$(*)\Leftrightarrow \,|x-1+(y-2)i|\,=\,|x-1+(y+3)i|\,$

$\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}={{(x-1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}\Leftrightarrow y=-\frac{1}{2}$

Do đó $\displaystyle \text{w}=z-2+2i=x-\frac{1}{2}i+2i=x-2+\frac{3}{2}i\,$ $\displaystyle \Rightarrow \,|\text{w}|\,=\sqrt{{{(x-2)}^{2}}+\frac{9}{4}}\ge \frac{3}{2}$ .

Chọn A.

Ví dụ 5.6: Trong các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z-2-4i|\,=\,|z-2i|$ . Biết rằng số phức $z=x+yi\,(x,y\in \mathbb{R})$ có mô đun nhỏ nhất. Tính $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ .