Dạng lượng giác của số phức

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

(Ban nâng cao)

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Như vậy nếu φ là một acgumen của z, thì một acgumen đều có dạng: φ + k2π.

2. Khái niệm về dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z = a + bi, số phức trên được gọi là dạng đại số của số phức. Số phức z = r(cosφ + isin φ) được gọi là dạng lượng giác của số phức. Trong đó:

r: là môđun của số phức

φ: là argumen của số phức

3. Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang lượng giác

Để chuyển số phức z = a + bi sang dạng lượng giác z = r(cosφ+isin φ) ta phải tìm được môđun và argumen của số phức. Bằng việc đồng nhất biểu thức hai số phức ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}r=\sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\\a=r\cos \varphi \\b=r\sin \varphi \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}r=\sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\\\cos \varphi =\frac{a}{r}=\frac{a}{{\sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}}}\\\sin \varphi =\frac{b}{r}=\frac{b}{{\sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}}}\end{array} \right.$

4. Nhân và chia hai số phức dạng lượng giác

a. Nhân hai số phức dạng lượng dạng

Cho hai số phức dạng lượng giácz₁ = r₁ (cosφ₁ + isinφ₁ )và

z₂ = r₂ (cosφ₂ + isinφ₂ ). Khi đó z = z₁z₂ được cho bởi công thức :

$z={{z}_{1}}{{z}_{2}}={{r}_{1}}{{r}_{2}}\left( {\cos \left( {{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}} \right)+i\sin \left( {{{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}} \right)} \right)$

Từ đó ta có số phức z = z₁ z₂ có modun và argumen thỏa mãn r = r₁ r₂ và φ =φ₁ + φ₂.

b. Chia hai số phức dạng lượng giác

Cho hai số phức dạng lượng giác: z₁= r₁ (cosφ₁+isinφ₁ ) và z₂ = r₂ (cosφ₂+ isinφ₂ ). Khi đó số phức:

$z=\frac{{{{z}_{1}}}}{{{{z}_{2}}}}$

được cho bởi công thức :

$z=\frac{{{{z}_{1}}}}{{{{z}_{2}}}}=\frac{{{{r}_{1}}}}{{{{r}_{2}}}}\left( {\cos \left( {{{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}} \right)+i\sin \left( {{{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}} \right)} \right)$

Từ đó ta có số phức:

$z=\frac{{{{z}_{1}}}}{{{{z}_{2}}}}$

có môđun và argumen thỏa mãn $r=\frac{{{{r}_{1}}}}{{{{r}_{2}}}}$ và φ = φ₁ – φ₂.

5. Công thức Moiver và ứng dụng lượng giác của số phức

a. Công thức Moiver

Cho số phức z = r(cosφ+isin φ). Khi đó

${{z}^{n}}={{\left[ {r\left( {\cos \varphi +i\sin \varphi } \right)} \right]}^{n}}={{r}^{n}}\left( {\cos n\varphi +i\sin n\varphi } \right)$

Công thức zⁿ = rⁿ [(cosφ + isin φ)] được gọi là công thức Moiver.

b. Ứng dụng dạng lượng giác

Ứng dụng 1:Tính toán các biểu thức số phức với lũy thừa lớn.

Ứng dụng 2:Tìm căn bặc n của số phức

Khái niệm căn bậc n:

Cho số phức z, một số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu wⁿ = z.

Cách tìm căn bậc n của số phức z.

Giả sử số phức z đã cho là z = r(cosφ + isin φ), và số phức w=r’ (cosφ’ + isin φ’ ). Khi đó điều kiện wⁿ = z tương đương với: [r’ (cosφ’ + isin φ’ )]ⁿ = r(cosφ+isinφ)

$\Leftrightarrow {{\left( {r'} \right)}^{n}}\left( {\cos (n\varphi ')+i\sin (n\varphi ')} \right)=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\left( {r'} \right)}^{n}}=r\\n\varphi '=\varphi +k2\pi \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}r'=\sqrt[n]{r}\\\varphi '=\frac{{\varphi +k2\pi }}{n}\end{array} \right.$

với k=1,2,…,n-1.

Vậy các căn bậc n của số phức z là

$\displaystyle \text{w}=\sqrt[n]{r}\left( {\cos \frac{{\varphi +k2\pi }}{n}+i\sin \frac{{\varphi +k2\pi }}{n}} \right)$ ; $\left( {k=0,1,2,...,n-1} \right)$

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1. Chuyển một số phức sang dạng lượng dạng

Phương pháp: Dạng lượng dạng có dạng: z = r(cosφ + isinφ) trong đó r>0. Để chuyển một số phức sang dạng lượng giác ta cần tìm r và φ;

Ta có r = |z|
φ là số thực thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi =\frac{a}{r}\\\sin \varphi =\frac{b}{r}\end{array} \right.$

Ví dụ: Dạng lượng giác của số phức: $z=6+6i\sqrt{3}$

A. $z=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$

B. $z=12\left( {\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$

C. $z=12\left( {\cos \frac{\pi }{3}-i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$

D. $z=\cos \frac{\pi }{3}-i\sin \frac{\pi }{3}$

$\Rightarrow$ Đáp án B

Gợi ý:

Ta có r = 12. Chọn φ là số thực thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi =\frac{1}{2}\\\sin \varphi =\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array} \right.$ $\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}\Rightarrow z=12\left( {\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$