Đường thẳng song song với mặt phẳng

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

A. Lý thuyết cơ bản

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng $\displaystyle d$ và mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right)$ , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:

$\displaystyle d$ và $\displaystyle \left( \alpha \right)$ cắt nhau tại điểm $\displaystyle M$ , kí hiêu $\displaystyle \left\{ M \right\}=d\cap \left( \alpha \right)$ hoặc để đơn giản ta kí hiệu $\displaystyle M=d\cap \left( \alpha \right)$ (h1)
$\displaystyle d$ song song với $\displaystyle \left( \alpha \right)$ , kí hiệu $\displaystyle d\parallel \left( \alpha \right)$ hoặc $\displaystyle \left( \alpha \right)\parallel d$ ( h2)
$\displaystyle d$ nằm trong $\displaystyle \left( \alpha \right)$ , kí hiệu $\displaystyle d\subset \left( \alpha \right)$ (h3)

2. Các định lí và tính chất.

Nếu đường thẳng $\displaystyle d$ không nằm trong mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right)$ và $\displaystyle d$ song song với đường thẳng $\displaystyle d'$ nằm trong $\displaystyle \left( \alpha \right)$ thì $\displaystyle d$ song song với $\displaystyle \left( \alpha \right)$ .

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}d\not\subset \left( \alpha \right)\\d\parallel d'\\d'\subset \left( \alpha \right)\end{array} \right.\Rightarrow d\parallel \left( \alpha \right)$

Cho đường thẳng $\displaystyle d$ song song với mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right)$ . Nếu mặt phẳng $\displaystyle \left( \beta \right)$ đi qua $\displaystyle d$ và cắt $\displaystyle \left( \alpha \right)$ theo giao tuyến $\displaystyle d'$ thì $\displaystyle d'\parallel d$ .

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}d\parallel \left( \alpha \right)\\d\subset \left( \beta \right)\\\left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)=d'\end{array} \right.\Rightarrow d'\parallel d$ .

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel d\\\left( \beta \right)\parallel d\\\left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)=d'\end{array} \right.\Rightarrow d'\parallel d$ .

4. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

B. Bài tập

Dạng 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng $\displaystyle d$ songsong với mặt phẳng
$\displaystyle \left( \alpha \right)$
ta chứng minh $\displaystyle d$ song song với một đường thẳng $\displaystyle d'$ nằm trong $\displaystyle \left( \alpha \right)$ .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành $\displaystyle ABCD$ và $\displaystyle ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là $\displaystyle O$ và $\displaystyle O'$ .

a) Chứng minh $\displaystyle OO'$ song song với các mặt phẳng $\displaystyle \left( ADF \right)$ và $\displaystyle \left( BCE \right)$ .

b) Gọi $\displaystyle M,N$ lần lượt là hai điểm trên các cạnh $\displaystyle AE,BD$ sao cho $\displaystyle AM=\frac{1}{3}AE,BN=\frac{1}{3}BD$ . Chứng minh $\displaystyle MN$ song song với $\displaystyle \left( CDEF \right)$ .

Lời giải:

a) Ta có $\displaystyle OO'$ là đường trung bình của tam giác $\displaystyle BDF$ ứng với cạnh $\displaystyle DF$ nên $\displaystyle OO'\parallel DF$ , $\displaystyle DF\subset \left( ADF \right)$

$\displaystyle \Rightarrow OO'\parallel \left( ADF \right)$ .

Tương tự, $\displaystyle OO'$ là đường trung bình của tam giác $\displaystyle ACE$ ứng với cạnh $\displaystyle CE$ nên $\displaystyle OO'\parallel CE$ , $\displaystyle CE\subset \left( CBE \right)\Rightarrow OO'\parallel \left( BCE \right)$ .

b) Trong $\displaystyle \left( ABCD \right)$ , gọi $\displaystyle I=AN\cap CD$

Do $\displaystyle AB\parallel CD$ nên $\displaystyle \frac{AN}{AI}=\frac{BN}{BD}\Rightarrow \frac{AN}{AI}=\frac{1}{3}$ .

Lại có $\displaystyle \frac{AM}{AE}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{AN}{AI}=\frac{AM}{AE}$ $\displaystyle \Rightarrow MN\parallel IE$ .

Mà $\displaystyle I\in CD\Rightarrow IE\subset \left( CDEF \right)\Rightarrow MN\parallel \left( CDEF \right)$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ có đáy $\displaystyle ABCD$ là một hình bình hành. Gọi $\displaystyle G$ là trọng tâm tam giác $\displaystyle SAB$ , $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle AB$ và $\displaystyle M$ là điểm trên cạnh $\displaystyle AD$ sao cho $\displaystyle AM=\frac{1}{3}AD$ .

a) Đường thẳng đi qua $\displaystyle M$ và song song với $\displaystyle AB$ cắt $\displaystyle CI$ tại $\displaystyle N$ . Chứng minh $\displaystyle NG\parallel \left( SCD \right)$ .

b) Chứng minh $\displaystyle MG\parallel \left( SCD \right)$ .

Lời giải:

a) Ta có $\displaystyle \frac{IN}{IC}=\frac{BJ}{BC}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$ , $\displaystyle \frac{IG}{IS}=\frac{1}{3}$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{IN}{IC}=\frac{IG}{IS}\Rightarrow NG\parallel SC$ ,

mà $\displaystyle SC\subset \left( SCD \right)$

$\displaystyle \Rightarrow NG\parallel \left( SCD \right)$ .

b) Gọi $\displaystyle E$ là giao điểm của $\displaystyle IM$ và $\displaystyle CD$

Ta có $\displaystyle \frac{IM}{IE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{IM}{IE}=\frac{IG}{IS}$

$\displaystyle \Rightarrow MG\parallel SE$ , $\displaystyle SE\subset \left( SCD \right)\Rightarrow GM\parallel \left( SCD \right)$ .

Dạng 2: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right)$ đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc $\displaystyle \left( \alpha \right)$ chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right)\parallel d\\d\subset \left( \beta \right)\\M\in \left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)\end{array} \right.\Rightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)=d'\parallel d,M\in d'$

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ , $\displaystyle M$ và $\displaystyle N$ là hai điểm thuộc cạnh $\displaystyle AB$ và $\displaystyle CD$ , $\displaystyle \left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $\displaystyle MN$ và song song với $\displaystyle SA$ .

a) Xác định thiết diện của hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ khi cắt bởi $\displaystyle \left( \alpha \right)$ .

b) Tìm điều kiện của $\displaystyle MN$ để thiết diện là một hình thang.

Lời giải:

a) Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}M\in \left( \alpha \right)\cap \left( SAB \right)\\\left( \alpha \right)\parallel SA\\SA\subset \left( SAB \right)\end{array} \right.$ $\displaystyle \Rightarrow \left( SAB \right)\cap \left( \alpha \right)=MQ\parallel SA,Q\in SB$ .

Trong $\displaystyle \left( ABCD \right)$ gọi $\displaystyle I=AC\cap MN$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}I\in MN\subset \left( \alpha \right)\\I\in AC\subset \left( SAC \right)\end{array} \right.\Rightarrow I\in \left( \alpha \right)\cap \left( SAC \right)$

Vậy $\displaystyle \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I\in \left( SAC \right)\cap \left( \alpha \right)\\\left( \alpha \right)\parallel SA\\SA\subset \left( SAC \right)\end{array} \right.\\\Rightarrow \left( SAC \right)\cap \left( \alpha \right)=IP\parallel SA,P\in SC\end{array}$

Từ đó ta có $\displaystyle \left( \alpha \right)\cap \left( SBC \right)=PQ,\left( \alpha \right)\cap \left( SAD \right)=NP$ .

Thiết diện là tứ giác $\displaystyle MNPQ$ .

b) Tứ giác $\displaystyle MNPQ$ là một hình thang khi $\displaystyle MN\parallel PQ$ hoặc $\displaystyle MQ\parallel NP$ .

Trường hợp 1:

Nếu $\displaystyle MQ\parallel NP$ thì ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel NP\\MQ\parallel SA\end{array} \right.\Rightarrow SA\parallel NP$

Mà $\displaystyle NP\subset \left( SCD \right)\Rightarrow SA\parallel \left( SCD \right)$ (vô lí).

Trường hợp 2:

Nếu $\displaystyle MN\parallel PQ$ thì ta có các mặt phẳng $\displaystyle \left( ABCD \right),\left( \alpha \right),\left( SBC \right)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $\displaystyle MN,BC,PQ$ nên $\displaystyle MN\parallel BC$ .

Đảo lại nếu $\displaystyle MN\parallel BC$ thì $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}MN\subset \left( \alpha \right)\\BC\subset \left( SBC \right)\\PQ=\left( \alpha \right)\cap \left( SBC \right)\end{array} \right.$

$\displaystyle \Rightarrow MN\parallel PQ$ nên tứ giác $\displaystyle MNPQ$ là hình thang.

Vậy để tứ giác $\displaystyle MNPQ$ là hình thang thì điều kiện là $\displaystyle MN\parallel BC$ .

Ví dụ 2. Cho hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ , có đáy là hình vuông cạnh $\displaystyle a$ và tam giác $\displaystyle SAB$ đều. Một điểm $\displaystyle M$ thuộc cạnh $\displaystyle BC$ sao cho $\displaystyle BM=x$ $\displaystyle \left( 0<x<a \right)$ , $\displaystyle \left( \alpha \right)$ mặt phẳng đi qua $\displaystyle M$ song song với $\displaystyle SA$ và $\displaystyle SB$ .

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi $\displaystyle \left( \alpha \right)$ .

b) Tính diện tích thiết diện theo $\displaystyle a$ và $\displaystyle x$ .

Lời giải:

a) Ta có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}M\in \left( \alpha \right)\cap \left( SBC \right)\\\left( \alpha \right)\parallel SB\\SB\subset \left( SBC \right)\end{array} \right.$ $\displaystyle \Rightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( SBC \right)=MN\parallel SB,$

$\displaystyle N\in SC$ .Tương tự $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}N\in \left( SAC \right)\cap \left( \alpha \right)\\\left( \alpha \right)\parallel SA\\SA\subset \left( SAC \right)\end{array} \right.$
$\displaystyle \Rightarrow \left( SAC \right)\cap \left( \alpha \right)=NI\parallel SA,I\in AC$

Trong $\displaystyle \left( ABCD \right)$ gọi $\displaystyle Q=MI\cap AD$ , thì ta có

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}Q\in \left( SAD \right)\cap \left( \alpha \right)\\\left( \alpha \right)\parallel SA\\SA\subset \left( SAD \right)\end{array} \right.\Rightarrow \left( SAD \right)\cap \left( \alpha \right)=QP\parallel SA,P\in SD$ .

Thiết diện là tứ giác $\displaystyle MNPQ$ .

b) Do $\displaystyle MN\parallel SB\Rightarrow \frac{CM}{CB}\text{= }\frac{CN}{CS}\text{ }\left( 1 \right)$

Lại có $\displaystyle IN\parallel SA\Rightarrow \frac{CI}{CA}=\frac{CN}{CS}\text{ }\left( 2 \right)$ . Từ $\displaystyle \left( 1 \right)$ và $\displaystyle \left( 2 \right)$ suy ra $\displaystyle \frac{CM}{CB}=\frac{CI}{CA}\Rightarrow IM\parallel AB$

Mà $\displaystyle AB\parallel CD\Rightarrow IM\parallel CD$ .

Ba mặt phẳng $\displaystyle \left( \alpha \right),\left( ABCD \right)$ và $\displaystyle \left( SCD \right)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $\displaystyle MQ,CD,NP$ với $\displaystyle MQ\parallel CD\Rightarrow MQ\parallel NP$ .

Vậy $\displaystyle MNPQ$ là hình thang.

Ta có $\displaystyle \frac{MN}{SB}=\frac{CM}{CB}=\frac{DQ}{DA}=\frac{PQ}{SA}$ , mà

$\displaystyle SA=SB=a\Rightarrow MN=PQ$ . Do đó $\displaystyle MNPQ$ là hình thang cân.

Từ $\displaystyle \frac{MN}{SA}=\frac{CM}{CB}=\frac{a-x}{a}\Rightarrow MN=a-x$ ,

$\displaystyle \frac{PN}{DC}=\frac{SN}{SC}=\frac{BM}{BC}\Rightarrow PN=BM=x$ , $\displaystyle \frac{IM}{AB}=\frac{CM}{CB}\Rightarrow IM=CM=a-x$

Gọi $\displaystyle J$ là trung điểm của $\displaystyle IM$ thì

$\displaystyle NJ=\sqrt{M{{N}^{2}}-M{{J}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-x \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a-x}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( a-x \right)$

$\displaystyle {{S}_{MNPQ}}=\frac{1}{2}NJ\left( MQ+NP \right)=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left( a-x \right)\left( a+x \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$ .