I - Diện tích hình phẳng

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số

Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x),

trục hoành và hai đường thẳng có phương trình x = a, x = b được tính bằng công thức:
                     S = |f(x)| dx

Do đó để tính S ta có thể thực hiện :

a) Hoặc xét dấu biểu thức f(x) trên đoạn [a ; b] để khử giá trị tuyệt đối.

b) Hoặc giải phương trình f(x) = 0 và phân biệt:

* Trường hợp f(x) = 0 vô nghiệm trên đoạn [a ; b] tức (C) : y = f(x) không cắt Ox trên đoạn [a ; b].Ta chỉ cần tính:  f(x)dx và khi đó:

* Trường hợp f(x) = 0 có nghiệm trên đoạn [a ; b], giả sử là α, β (α <β), tức (C) : y = f(x) cắt Ox tại hai

điểm có x = α, x = β  trên đoạn [a ; b].

Ta chỉ cần tính một nguyên hàm F(x) của f(x) và khi đó:

2. Trường hợp hình phẳng giới hạn bởi hai đô thị hàm số

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng có phương trình

x= a, x = b được tính bởi công thức:
                     S = |f(x) - g(x)|dx

Do đó để tính S ta có thể thực hiện:

a) Hoặc xét dấu biểu thức [f(x) - g(x)] để khử giá trị tuyệt đối.

b) Hoặc giải phương trình f(x) - g(x) = 0 và phân biệt:

* Trường hợp f(x) - g(x) = 0 vô nghiệm trên [a ; b], tức đồ thị của hai hàm số không cắt nhau trên đoạn
[a ; b]. Ta chỉ cần tính [f(x) - g(x)]dx, khi đó:

                 
* Trường hợp f(x) - g(x) = 0 có nghiệm trên đoạn [a ; b], giả sử là c, d (c < d), tức đồ thị của hai hàm số

y = f(x), y = g(x) cắt nhau tại hai điểm có x = c, x = d trên đoạn [a ; b].

Ta tính một nguyên hàm của f(x) - g(x) là F(x) - G(x) và có:

                
Ghi chú:

* Nếu phải tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị hàm số trở lên, ta phải vẽ hình và chia hình

phẳng phải tìm diện tích thành nhiều hình phẳng nhỏ được giới hạn bởi hai đường.

* Một số trường hợp tính diện tích hình phẳng, ta có thể chuyển đổi biểu thức hàm số thành x theo y, lấy

tích phân theo biến số y để bài toán được đơn giản hơn.

II- Thể tích vật thể

1. Thể tích của vật thể

Trong không gian Oxy, cho một vật thể B được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x= a,

x = b và có S(x) là diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

x ∈ [a ; b], nếu S = S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] thì thể tích V của vật thể B được tính bằng

công thức:
                        V =  S(x)dx

2. Thể tích khối tròn xoay

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y = f(x) (liên tục và không âm trên đoạn [a ; b]), trục hoành và

hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích được tính

theo công thức:
                      

Tương tự nếu đồ thị (C): x = g(y) liên tục trên đoạn [c ; d]). Hình phẳng giới hạn bởi (C): x = g(y), trục

tung và hai đường thẳng y = c, y = d, quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay có thể tích V được

tính theo công thức:
                       
Ví dụ:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P): y = -x2 + 2x - 1, trục Ox và hai đường thẳng x =1, x = 3 là:

A. 3 (đvdt)                B. (đvdt)               C.          D. 

                                                               Giải
Ta có: y = -x² + 2x - 1 < 0,  ∀x ∈ R. y = x² - 2x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất x = 1, nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P), trục Ox và hai  đường thẳng x = 1; x = 3 là:

Chọn phương án C.

Hoặc ta có thể trình bày lời giải như sau: phương trình f(x) = 0 có một nghiệm duy nhất x = 1 ∈ [1 ; 3] nên: