Phép vị tự

PHÉP VỊ TỰ

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

1. Định nghĩa.

Cho điểm $\displaystyle I$ và một số thực $\displaystyle k\ne 0$ . Phép biến hình biến mỗi điểm $\displaystyle M$ thành điểm $\displaystyle M'$ sao cho $\displaystyle \overrightarrow{IM'}=k.\overrightarrow{IM}$ được gọi là phép vị tự tâm $\displaystyle I$ , tỉ số $\displaystyle k$ . Kí hiệu $\displaystyle {{V}_{\left( I;k \right)}}$

Vậy $\displaystyle {{V}_{\left( I;k \right)}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow \overrightarrow{IM'}=k.\overrightarrow{IM}$ .

2. Biểu thức tọa độ.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\displaystyle I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ , $\displaystyle M\left( x;y \right)$ , gọi $\displaystyle M'\left( x';y' \right)={{V}_{\left( I;k \right)}}\left( M \right)$ thì

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x'=kx+\left( 1-k \right){{x}_{0}}\\y'=ky+\left( 1-k \right){{y}_{0}}\end{array} \right.$ .

3. Tính chất:

- Nếu $\displaystyle {{V}_{\left( I;k \right)}}\left( M \right)=M',{{V}_{\left( I;k \right)}}\left( N \right)=N'$ thì $\displaystyle \overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}$ và $\displaystyle M'N'=\left| k \right|MN$ .

- Phép vị tự tỉ số k.
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường tròn có bán kính $\displaystyle R$ thành đường tròn có bán kính $\displaystyle \left| k \right|R$

4. Tâm vị tự của hai đường tròn.

Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn $\displaystyle \left( I;R \right)$ và $\displaystyle \left( I';R' \right)$ :

+ Nếu $\displaystyle I\equiv I'$ thì các phép vị tự $\displaystyle {{V}_{\left( I;\pm \frac{R'}{R} \right)}}$ biến $\displaystyle \left( I;R \right)$ thành $\displaystyle \left( I';R' \right)$ .
+ Nếu $\displaystyle I\ne I'$ và $\displaystyle R\ne R'$ thì các phép vị tự $\displaystyle {{V}_{\left( O;\frac{R'}{R} \right)}}$ và $\displaystyle {{V}_{\left( {{O}_{1}};-\frac{R'}{R} \right)}}$ biến $\displaystyle \left( I;R \right)$ thành $\displaystyle \left( I';R' \right)$ . Ta gọi $\displaystyle O$ là tâm vị tự ngoài còn $\displaystyle {{O}_{1}}$ là tâm vị tự trong của hai đường tròn.

Nếu Nếu $\displaystyle I\ne I'$ và $\displaystyle R=R'$ thì có $\displaystyle {{V}_{\left( {{O}_{1}};-1 \right)}}$ biến $\displaystyle \left( I;R \right)$ thành $\displaystyle \left( I';R' \right)$ .

B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ.

Phương pháp:

Dùng định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép vị tự.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng $\displaystyle Oxy$ , cho đường thẳng $\displaystyle d$ có phương trình $\displaystyle 5x+2y-7=0$ . Hãy viết phương trình của đường thẳng $\displaystyle d'$ là ảnh của $\displaystyle d$ qua phép vị tự tâm $\displaystyle O$ tỉ số $\displaystyle k=-2$ .

Lời giải:

Cách 1:
Lấy $\displaystyle M\left( x;y \right)\in d\Rightarrow 5x+2y-7=0\text{ }\left( * \right)$ .

Gọi $\displaystyle M'\left( x';y' \right)={{V}_{\left( O;-2 \right)}}\left( M \right)$ . Theo biểu thức tọa độ ta có

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x'=-2x+\text{ }\!\![\!\!\text{ }1-\left( -2 \right)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }.0\\y'=-2y+\text{ }\!\![\!\!\text{ }1-\left( -2 \right)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }.0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}x'\\y=-\frac{1}{2}y'\end{array} \right.$ .

Thay vào $\displaystyle \left( * \right)$ ta được $\displaystyle -\frac{5}{2}x'-y'-7=0\Leftrightarrow 5x'+2y'+14=0$

Vậy $\displaystyle d':5x+2y+14=0$ .

Cách 2: Do $\displaystyle d'$ song song hoặc trùng với $\displaystyle d$ nên phương trình có dạng : $\displaystyle 5x+2y+c=0$ . Lấy $\displaystyle M\left( 1;1 \right)$ thuộc $\displaystyle d$ . Gọi $\displaystyle M'\left( x';y' \right)={{V}_{\left( O;-2 \right)}}\left( M \right)$ ta có $\displaystyle \overrightarrow{OM'}=-2\overrightarrow{OM}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'=-2\\y'=-2\end{array} \right.$ . Thay vào $\displaystyle \left( * \right)$ ta được $\displaystyle c=14$ .

Vậy $\displaystyle d':5x+2y+14=0$ .

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng $\displaystyle Oxy$ , cho đường tròn $\displaystyle \left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4$ . Tìm ảnh của đường tròn $\displaystyle \left( C \right)$ qua phép vị tự tâm $\displaystyle I\left( -1;2 \right)$ tỉ số $\displaystyle k=3$

Lời giải:

Đường tròn $\displaystyle \left( C \right)$ có tâm $\displaystyle J\left( 1;1 \right)$ , bán kính $\displaystyle R=2$ .

Gọi $\displaystyle J'\left( x';y' \right)={{V}_{\left( I;3 \right)}}\left( J \right)\Rightarrow \overrightarrow{IJ'}=3\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'-1=3\left( 1+1 \right)\\y'-1=3\left( 1-2 \right)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'=7\\y'=-2\end{array} \right.$

$\displaystyle \Rightarrow J'\left( 7;-2 \right)$ .

Gọi $\displaystyle \left( C' \right)$ là ảnh của $\displaystyle \left( C \right)$ qua phép vị tự $\displaystyle {{V}_{\left( I;3 \right)}}$ thì $\displaystyle \left( C' \right)$ có tâm $\displaystyle J'\left( 7;-2 \right)$ , bán kính $\displaystyle R'=3R=6$ .

Vậy $\displaystyle \left( C' \right):{{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=36$ .

Bài toán 02: TÌM TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.

Phương pháp:

Sử dụng cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong bài học.

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn $\displaystyle \left( O;R \right)$ và $\displaystyle \left( O';2R \right)$ đựng nhau, với $\displaystyle O\ne O'$ . Tìm tâm vị tự của hai đương tròn $\displaystyle \left( O \right)$ và $\displaystyle \left( O' \right)$ .

Lời giải:

Do $\displaystyle O\ne O'$ và $\displaystyle R\ne 2R$ nên có hai phép vị tự $\displaystyle {{V}_{\left( I;2 \right)}}$ và $\displaystyle {{V}_{\left( I';-2 \right)}}$ biến $\displaystyle \left( O;R \right)$ thành $\displaystyle \left( O';2R \right)$ .

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn $\displaystyle \left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4$ và $\displaystyle \left( C' \right):{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=16$ . Tìm tâm vị tự của hai đường tròn.

Lời giải:

Đường tròn $\displaystyle \left( C \right)$ có tâm $\displaystyle I\left( 1;2 \right)$ ,bán kính $\displaystyle R=2$ ; đường tròn $\displaystyle \left( C' \right)$ có tâm $\displaystyle I'\left( 8;4 \right)$ , bán kính $\displaystyle R'=4$ . Do $\displaystyle I\ne I'$ và $\displaystyle R\ne R'$ nên có hai phép vị tự $\displaystyle {{V}_{\left( J;2 \right)}}$ và $\displaystyle {{V}_{\left( J';-2 \right)}}$ biến $\displaystyle \left( C \right)$ thành $\displaystyle \left( C' \right)$ . Gọi $\displaystyle J\left( x;y \right)$

Với $\displaystyle k=2$ khi đó $\displaystyle \overrightarrow{JI'}=2\overrightarrow{JI}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8-x=2\left( 2-x \right)\\4-y=2\left( 1-y \right)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=-4\\y=-2\end{array} \right.$ .

$\displaystyle \Rightarrow J\left( -4;-2 \right)$ .

Tương tự với $\displaystyle k=-2$ , tính được $\displaystyle J'\left( 4;2 \right)$ .

Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một hình $\displaystyle \left( H \right)$ nào đó ta quy về dựng một số điểm ( đủ để xác định hình $\displaystyle \left( H \right)$ ) khi đó ta xem các điểm cần dựng đó là giao của hai đường trong đố một đường có sẵn và một đường là ảnh vị tự của một đường khác.

Ví dụ 1. Cho hai điểm $\displaystyle B,C$ cố định và hai đường thẳng $\displaystyle {{d}_{1}},{{d}_{2}}$ . Dựng tam giác $\displaystyle ABC$ có đỉnh $\displaystyle A$ thuộc $\displaystyle {{d}_{1}}$ và trọng tâm $\displaystyle G$ thuộc $\displaystyle {{d}_{2}}$ .

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dựng được tam giác $\displaystyle ABC$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle BC$ , theo tính chất trọng tâm ta có $\displaystyle \overrightarrow{IA}=3\overrightarrow{IG}$

$\displaystyle \Rightarrow {{V}_{\left( I;3 \right)}}\left( G \right)=A$ mà $\displaystyle G\in {{d}_{2}}\Rightarrow A\in {{d}_{2}}'$

Với $\displaystyle {{d}_{2}}'$ là ảnh của $\displaystyle {{d}_{2}}$ qua $\displaystyle {{V}_{\left( I;3 \right)}}$ .

Lại có $\displaystyle A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}'$

Cách dựng:

Dựng đường thẳng $\displaystyle {{d}_{2}}'$ ảnh của $\displaystyle {{d}_{2}}$ qua $\displaystyle {{V}_{\left( I;3 \right)}}$ .
Dựng giao điểm $\displaystyle A={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}'$ .
Dựng giao điểm $\displaystyle G=IA\cap {{d}_{2}}$ .

Hai điểm $\displaystyle A;G$ là hai điểm cần dựng.

Chứng minh:

Rõ ràng từ cách dựng ta có $\displaystyle A\in {{d}_{1}},G\in {{d}_{2}}$ ; $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle BC$ và $\displaystyle {{V}_{\left( I;3 \right)}}\left( G \right)=A\Rightarrow \overrightarrow{IA}=3\overrightarrow{IG}\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác $\displaystyle ABC$ .

Biện luận:

Số nghiệm hình bằng số giao điểm của $\displaystyle {{d}_{1}}$ và $\displaystyle {{d}_{2}}'$ .

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn đồng tâm $\displaystyle \left( {{C}_{1}} \right)$ và $\displaystyle \left( {{C}_{2}} \right)$ . Từ một điểm $\displaystyle A$ trên đường tròn lớn $\displaystyle \left( {{C}_{1}} \right)$ hãy dựng đường thẳng $\displaystyle d$ cắt $\displaystyle \left( {{C}_{2}} \right)$ tại $\displaystyle B,C$ và cắt $\displaystyle \left( {{C}_{1}} \right)$ tại $\displaystyle D$ sao cho $\displaystyle AB=BC=CD$ .

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dựng được đường thẳng $\displaystyle d$ cắt $\displaystyle \left( {{C}_{1}} \right)$ tại $\displaystyle D$ và $\displaystyle \left( {{C}_{2}} \right)$ tại $\displaystyle B,C$ sao cho $\displaystyle AB=BC=CD$ , khi đó $\displaystyle \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\Rightarrow {{V}_{\left( A;\frac{1}{2} \right)}}\left( C \right)=B$ .

Mà $\displaystyle C\in \left( {{C}_{2}} \right)$ nên $\displaystyle B\in \left( {{C}_{2}}' \right)$ với đường tròn

$\displaystyle \left( {{C}_{2}}' \right)$ là ảnh của $\displaystyle \left( {{C}_{2}} \right)$ qua $\displaystyle {{V}_{\left( A;\frac{1}{2} \right)}}$ .

Lại có $\displaystyle B\in \left( {{C}_{2}} \right)$ nên $\displaystyle B\in \left( {{C}_{2}} \right)\cap \left( {{C}_{2}}' \right)$ .

Cách dựng:

Dựng đường tròn $\displaystyle \left( {{C}_{2}}' \right)$ ảnh của đường tròn $\displaystyle \left( {{C}_{2}} \right)$ qua phép vị tự $\displaystyle {{V}_{\left( A;\frac{1}{2} \right)}}$ .
Dựng giao điểm $\displaystyle B$ của $\displaystyle \left( {{C}_{2}} \right)$ và $\displaystyle \left( {{C}_{2}}' \right)$ .
Dựng đường thẳng $\displaystyle d$ đi qua $\displaystyle A,B$ cắt các đường tròn $\displaystyle \left( {{C}_{2}} \right),\left( {{C}_{1}} \right)$ tại $\displaystyle C,D$ tương ứng.

Đường thẳng $\displaystyle d$ chính là đường thẳng cần dựng.

Chứng minh:

Gọi $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle AD$ thì $\displaystyle I$ cũng là trung điểm của $\displaystyle BC$ .

Vì $\displaystyle {{V}_{\left( A;\frac{1}{2} \right)}}\left( C \right)=B$ nên $\displaystyle AB=BC$ , mặt khác $\displaystyle AD$ và $\displaystyle BC$ có chung trung điểm $\displaystyle I$ nên $\displaystyle IA=ID,IC=IC,$ $\displaystyle ID=CD+IC;IA=IB+AB$ suy ra $\displaystyle CD=AB$ . Vậy $\displaystyle AB=BC=CD$ .

Biện luận: Gọi $\displaystyle {{R}_{1}};{{R}_{2}}$ lần lượt là bán kính các đường tròn $\displaystyle \left( {{C}_{1}} \right)$ và $\displaystyle \left( {{C}_{2}} \right)$ ta có:

Nếu $\displaystyle {{R}_{1}}\ge 2{{R}_{2}}$ thì có một nghiệm hình.
Nếu $\displaystyle {{R}_{1}}<2{{R}_{2}}$ thì có hai nghiệm hình.

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Để tìm tập hợp điểm $\displaystyle M$ ta có thể quy về tìm tập hợp điểm $\displaystyle N$ và tìm một phép vị tự $\displaystyle {{V}_{\left( I;k \right)}}$ nào đó sao cho $\displaystyle {{V}_{\left( I;k \right)}}\left( N \right)=M$ suy ra quỹ tích điểm $\displaystyle M$ là ảnh của quỹ tích $\displaystyle N$ qua $\displaystyle {{V}_{\left( I;k \right)}}$ .

Ví dụ 1. Cho đường tròn $\displaystyle \left( O;R \right)$ và một điểm $\displaystyle I$ nằm ngoài đường tròn sao cho $\displaystyle OI=3R$ , $\displaystyle A$ là một điểm thay đổi trên đường tròn $\displaystyle \left( O;R \right)$ . Phân giác trong góc $\displaystyle \widehat{IOA}$ cắt $\displaystyle IA$ tại điểm $\displaystyle M$ . Tìm tập hợp điểm $\displaystyle M$ khi $\displaystyle A$ di động trên $\displaystyle \left( O;R \right)$ .

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác ta có $\displaystyle \frac{MI}{MA}=\frac{OI}{OA}=\frac{3R}{R}=3$

$\displaystyle \Rightarrow IM=\frac{3}{4}IA$

$\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow{IM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{IA}$

$\displaystyle \Rightarrow {{V}_{\left( I;\frac{3}{4} \right)}}\left( A \right)=M$ , mà $\displaystyle A$ thuộc đường tròn $\displaystyle \left( O;R \right)$ nên $\displaystyle M$ thuộc $\displaystyle \left( O';\frac{3}{4}R \right)$ ảnh của $\displaystyle \left( O;R \right)$ qua $\displaystyle {{V}_{\left( I;\frac{3}{4} \right)}}$ . Vậy tập hợp điểm $\displaystyle M$ là $\displaystyle \left( O';\frac{3}{4}R \right)$ ảnh của $\displaystyle \left( O;R \right)$ qua $\displaystyle {{V}_{\left( I;\frac{3}{4} \right)}}$ .

Ví dụ 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ . Qua điểm $\displaystyle M$ trên cạnh $\displaystyle AB$ vẽ các đường song song với các đường trung tuyến $\displaystyle AE$ và $\displaystyle BF$ , tương ứng cắt $\displaystyle BC$ và $\displaystyle CA$ tai $\displaystyle P,Q$ . Tìm tập hợp điểm $\displaystyle R$ sao cho $\displaystyle MPRQ$ là hình bình hành.

Lời giải:

Gọi $\displaystyle I=MQ\cap AE$ , $\displaystyle K=MP\cap BF$ và $\displaystyle G$ là trọng tâm của tam giác $\displaystyle ABC$ .

Ta có $\displaystyle \frac{MI}{BG}=\frac{AM}{AB}=\frac{AQ}{AF}=\frac{IQ}{GF}$ $\displaystyle \Rightarrow \frac{MI}{IQ}=\frac{BG}{GF}=2\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MQ}$ .

Tương tự ta có $\displaystyle \overrightarrow{MK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MP}$

Từ đó ta có $\displaystyle \overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MQ}+\frac{2}{3}\overrightarrow{MP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MR}$ Do đó $\displaystyle \overrightarrow{GR}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GM}\Rightarrow {{V}_{\left( G;-\frac{1}{2} \right)}}\left( M \right)=R$ , mà $\displaystyle M$ thuộc cạnh $\displaystyle AB$ nên $\displaystyle R$ thuộc ảnh của cạnh $\displaystyle AB$ qua $\displaystyle {{V}_{\left( G;-\frac{1}{2} \right)}}$ đoạn chính là đoạn $\displaystyle EF$ .

Vậy tập hợp điểm $\displaystyle R$ là đoạn $\displaystyle EF$ .

Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI TOÁN.

Ví dụ 1. Trên cạnh $\displaystyle AB$ của tam giác $\displaystyle ABC$ lấy các điểm $\displaystyle M,N$ sao cho $\displaystyle AM=MN=NB$ , các điểm $\displaystyle E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $\displaystyle CB,CA$ , gọi $\displaystyle P$ là giao điểm của $\displaystyle BF$ và $\displaystyle CN$ , $\displaystyle Q$ là giao điểm của $\displaystyle AE$ với $\displaystyle CM$ . Chứng minh $\displaystyle PQ//AB$ .

Lời giải:

Gọi $\displaystyle G$ là trọng tâm của tam giác $\displaystyle ABC$ .

Ta có $\displaystyle MF$ là đường trung bình của tam giác $\displaystyle ACN$ nên $\displaystyle MF\parallel CN$ , mặt khác $\displaystyle N$ là trung điểm của $\displaystyle MB$ nên $\displaystyle P$ là trung điểm của $\displaystyle BF$ .

Ta có

$\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BF}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BF}\\=-\frac{1}{6}\overrightarrow{BF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{GB}\end{array}$ .

Tương tự $\displaystyle \overrightarrow{GQ}=\frac{1}{4}\overrightarrow{GA}$ .

Vậy $\displaystyle {{V}_{\left( G;\frac{1}{4} \right)}}\left( B \right)=P$ và $\displaystyle {{V}_{\left( G;\frac{1}{4} \right)}}\left( A \right)=Q$ suy ra $\displaystyle PQ//AB$ .

Ví dụ 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ . Gọi $\displaystyle I,J,M$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle AB,AC,IJ$ . Đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ ngoại tiếp tam giác $\displaystyle AIJ$ cắt $\displaystyle AO$ tại $\displaystyle D$ . Gọi $\displaystyle E$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle D$ trên $\displaystyle BC$ . Chứng minh $\displaystyle A,M,E$ thẳng hàng.

Lời giải:

Xét phép vị tự $\displaystyle {{V}_{\left( A;2 \right)}}$ ta có

$\displaystyle \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI};\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AJ}$ nên $\displaystyle {{V}_{\left( A;2 \right)}}\left( I \right)=B,{{V}_{\left( A;2 \right)}}\left( J \right)=C$ do đó $\displaystyle {{V}_{\left( A;2 \right)}}$ biến tam giác $\displaystyle AIJ$ thành tam giác $\displaystyle ABC$ , do đó phép vị tự này biến đường tròn $\displaystyle \left( O \right)$ thành đường tròn $\displaystyle \left( O' \right)$ ngoại tiếp tam giác $\displaystyle ABC$ .

Do $\displaystyle \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}\Rightarrow {{V}_{\left( A;2 \right)}}\left( O \right)=D$

$\displaystyle \Rightarrow O'\equiv D$ , hay $\displaystyle D$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $\displaystyle ABC$

Giả sử $\displaystyle {{V}_{\left( A;2 \right)}}\left( M \right)=M'$ khi đó $\displaystyle OM\bot IJ\Rightarrow DM'\bot BC$ $\displaystyle \Rightarrow M'\equiv E$ .