A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRÍ CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa: 

♦ Tìm cực trị của hàm số, tức tìm cực đại và cực tiểu của hàm số đó, ta cần hiểu rõ các định nghĩa:

Cho hàm số f xác định trên D ∈ R và x₀ ∈ D.

a) x₀ là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa x₀ để (a ; b) ⊂ D và f(x) < f'(x₀),

x ∈ (a ; b)\{x₀}. Khi đó f(x₀) là giá trị cực đại của hàm số f.

b) x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa x₀ để (a ; b) ⊂ D và f(x) > f'(x₀),

x ∈ (a ; b)\{x₀}. Khi đó f(x₀) là giá trị cực tiểu của hàm số f.

2. Để xác định điểm cực trị của hàm số y = f(x) liên tục trên D ta tiến hành :

- Tìm tập xác định D của hàm số đó.

- Tính và xét dấu đạo hàm f'(x) :

+ Nếu f'(x) đổi dấu từ + sang - khi x qua x₀ ∈ D thì f đạt cực đại tại x₀

+ Nếu f'(x) đổi dấu từ - sang + khi x qua x₀ ∈ D thì f đạt cực tiểu tại x₀

Hoặc :

+ Tính f'(x) và f''(x).

+ Giải f'(x) = 0 để tìm các nghiệm x_i (i = 1,2 ...) và tìm dấu của f''(x_¡).

+ Nếu f''(x_i) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x_i.

+ Nếu f''(x_i) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_i.

Ghi chú:

3. Một sô chú ý:  Với các bài toán về cực trị, một số kiến thức ta cần lưu ý để có thể thích ứng nhanh với yêu cầu của một số câu hỏi trắc nghiệm :

1. Hàm đa thức y = P(x) đạt cực trị tại các nghiệm đơn của P’(x) = 0.

2. Hàm số   có cưc đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

3. Hàm số  đạt cực trị tại x₀ thì giá trị của hàm số tại điểm cực trị x₀ là  với P’(x₀) và Q’(x₀) lần lượt là đạo hàm của P(x) và Q(x) tại x₀.

4. Tìm phương trình đường đi qua các điểm cực trị :
a) Trường hợp hàm số hữu tỉ  đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) có phương trình là 

b) Với hàm đa thức y = f(x), để tìm phương trình đường đi qua các điểm cực trị (có toạ độ phức tạp) ta chia đa thức f(x) cho f'(x) :
y = f(x) = f'(x) Q(x) + R(x) thì tại điểm cực trị M₀(x₀ ; y₀) ta có:
y₀ = f'x₀)Q(x₀) + R(x₀) = R(x₀) (d₀ f'(x₀) = 0).
Vậy y = R(x) là phương trình đường nối các điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Ví dụ: 

Chứng tỏ hàm số  luôn có một cực đại và cực tiểu.

                                                     Giải

Hàm số có tập xác định D = R và đạo hàm:

Dấu của y' là dấu của g(x) = -2x² + 2(1 - m)x + 2 có

Δ' = (1 - m)² + 4 > 0, m ∈ R

nên g(x) luôn có hai lần đổi dấu từ + sang - và từ - sang + hay f(x) luôn có một cực đại và một cực tiểu.