Chào bạn, hàm số này liệu có phải là $y=x^2+(2m+1)x+m^2-1$

a) pt hoành độ giao điểm: $$\begin{gathered} x^2+(2m+1)x+m^2-1=x <=> x^2+2mx + m^2 -1 = 0 \left(1\right) \\ △\text{'}=m^2-m^2+ 1 = 1 > 0 => \left(1\right) có 2 nghiệm phân biệt. Do đó 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm pb \end{gathered}$$

b) Giả sử (C) luôn tiếp xúc với đường thẳng y = ax + b. Khi đó

Phương trình $x^2+(2m+1)x+m^2-1=ax+b$ có nghiệm kép với mọi m

$<=> x^2+(2m+1-a)x +m^2-b-1=0$  có  nghiệm kép với mọi m

$<=> ∆=(2m+1-a{)}^2-4(m^2-b-1) = 0$ với mọi m

$$\begin{gathered} <=> 4m^2+1+a^2-4ma +4m-2a - 4m^2+4b+4 = 0, \forall m \\ <=> 4m(1-a) +a^2-2a+4b+5=0, \forall m \\ <=> \left\{\begin{array}{l}1-a=0\\ a^2-2a+4b+5=0\end{array}\right. <=> \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy parabol luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x - 1 với mọi m.

c) Gọi $M(x_0,y_0)$ là điểm mà đồ thị hàm số luôn không đi qua. Khi đó phương trình

$x_0^2+(2m+1)x_0+m^2-1=0$ vô nghiệm với mọi m

$<=> m^2+2x_{0}m +( x_0^2+x_0-1) = 0$ vô nghiệm với mọi m

$<=> ∆\text{'}= x_0^2 - (x_0^2+x_0-1) < 0 <=> 1-x_0<0 <=> x_0>1$

Vậy đồ thị hàm số luôn không đi qua các điểm có tọa độ $(x_0,y_0) với x_0>1$