Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a, b), bán kính R.

a) (C) tiếp xúc với đường thẳng 3x - 4y - 31 = 0 tại A 

$$\begin{gathered} => d(A,d) = R <=> \frac{|3a - 4b - 31|}{5}=5 \\ <=>|3a - 4b - 31| = 1 \\ <=> 3a - 4b - 31 = 1 hoặc 3a - 4b - 31 = -1 \end{gathered}$$

Mà $A\in \left(C\right) => I{A}^2 = R^2 <=> (a-1{)}^2 + (b +\hspace{0.17em}7{)}^2 = 5^2<=>a^2+b^2-2a+14b +\hspace{0.17em}25 = 0 \left(1\right)$

Trương hợp 1: $3a - 4b - 31 = 1<=>a =\frac{32+4b}{3}$ thay vào (1) ....

b) (C) đi qua 2 điểm M, N nên $R^2=M{N}^2=90$

(C) tiếp xúc với trục Ox tại N(6; 0) và đi qua điểm M(9; 9) nên (C) thuộc góc phần tư thứ (I)

=> a > 0, b > 0

(C) tiếp xúc với Ox tại N => |b| = R => b = R

Ta có: 

$$\begin{gathered} I{N}^2=I{M}^2=R^2 <=>\left\{\begin{array}{l}I{N}^2=I{M}^2\\ I{N}^2=R^2\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}a+3b - 21 = 0\\ (a-6{)}^2 + b^2 = R^2\end{array}\right. \\ <=>\left\{\begin{array}{l}a+3b-21=0\\ a-6=0 (vì b = R)\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}a=6\\ b=5\end{array}\right.=>I(6,5) \end{gathered}$$

R = 5

Khi đó (C) có phương trình: $(x-6{)}^2+(y-5{)}^2=25$

c) (C) đi qua A(2; -1) và tiếp xúc với trục Ox , Oy nên (C) thuộc góc phần tư thứ (IV)

=> |a| = |b| = R <=> a = -b = R

Ta có: 

$$\begin{gathered} IA=R<=>I{A}^2=R^2<=>(2-a{)}^2+(-1-b{)}^2=R^2 \\ =>(2-a{)}^2+(-1+a{)}^2=a^2 \\ <=>a^2-6a+5=0 <=>a = 1 hoặc a = 5 \end{gathered}$$

 Vậy (C) có phương trình: $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=1 hoặc (x - 5{)}^2+(y + 5{)}^2=25$

d) I thuộc đường thẳng 4x + 3y - 1 = 0=> 4a + 3b - 1 = 0     (1)

Ta có: 

$$\begin{gathered} I{A}^2=I{B}^2<=>(a-2{)}^2+(b-3{)}^2=(a+1{)}^2+(b-1{)}^2 \\ <=>6a+4b=11 \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) ta được: a = 29/2, b = - 19