Phương trình của mặt phẳng

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

A. Lý thuyết cơ bản

1. Vecto pháp tuyến – Cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

- Vecto $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ là một vecto pháp tuyến ( $VTPT$ ) của mặt phẳng $(P)$ nếu giá của $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $(P)$ .

- Hai vecto $\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b}$ không cùng phương là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng $(P)$ nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(P)$ .

- Nếu $\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b}$ là một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng $(P)$ thì $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]$ là một $VTPT$ của $(P)$ .

Chú ý: Nếu $\overrightarrow{n}$ là một $VTPT$ của $(P)$ thì $k\overrightarrow{n}\,\,(k\ne 0)$ cũng là $VTPT$ của $(P)$ .

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có $VTPT$ $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ có phương trình tổng quát:

$A(x-{{x}_{0}})+B(y-{{y}_{0}})+C(z-{{z}_{0}})=0$ .

Nếu mặt phẳng $(P)$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ thì $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ là một $VTPT$ của $(P)$ .

3. Một số mặt phẳng thường gặp

Phương trình mặt phẳng đoạn chắn qua 3 điểm $A(a;0;0),\,B(0;b;0),\,C(0;0;c)$ với $a,b,c\ne 0$ là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ .

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Mặt phẳng $(P)$ được xác định bởi phương trình tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$ . Khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ đến mặt phẳng $(P)$ được xác định bởi công thức: $d(M,(P))=\frac{|A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$ .

Chú ý: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

5. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng $(P):\,Ax+By+Cz+D=0$ và $(Q):\,A'x+B'y+C'z+D'=0$ được xác định bởi công thức $\cos \left( (P),(Q) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{n},\overrightarrow{n'} \right|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{n'}|}$ trong đó $\overrightarrow{n}(A;B;C),\,\overrightarrow{n'}(A';B';C')$ .

Chú ý: ${{0}^{0}}\le \widehat{\left( (P),(Q) \right)}\le {{90}^{0}}$ .

6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $(P):\,Ax+By+Cz+D=0$ và $(Q):\,A'x+B'y+C'z+D'=0$ . Khi đó, vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(P),(Q)$ xảy ra các trường hợp sau:

- Trường hợp 1: $(P)\equiv (Q)\Leftrightarrow \frac{A'}{A}=\frac{B'}{B}=\frac{C'}{C}=\frac{D'}{D}$ .

- Trường hợp 2: $(P)//(Q)\Leftrightarrow \frac{A'}{A}=\frac{B'}{B}=\frac{C'}{C}=\frac{D'}{D}$ .

- Trường hợp 3: $(P)\cap (Q)\Leftrightarrow A:B:C\ne A':B':C'$ .

Đặc biệt $(P)\bot (Q)\Leftrightarrow AA'+BB'+CC'=0$ .

B. Bài tập

Dạng 1. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có $VTPT\,\,\overrightarrow{n}(A;B;C)$

A. Phương pháp

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có $VTPT$ $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ có phương trình tổng quát:

$A(x-{{x}_{0}})+B(y-{{y}_{0}})+C(z-{{z}_{0}})=0$ .

Chú ý:

$(P)$ // $(Q)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{{{n}_{Q}}}$ ( $(P)$ và $(Q)$ có cùng $VTPT$ ).

$(P)\bot d\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{P}}}$ ( $VTCP$ của $d$ là một $VTPT$ của $(P)$ ).

$(P)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{AB}$ và $(P)$ đi qua trung điểm của $AB$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;3)$ và song song với mặt phẳng $(Q):x-4y+z+12=0$ là

A. $x-4y+z+4=0$ . B. $x-4y+z-4=0$ .

C. $x-4y+z-12=0$ . D. $x-4y+z-1=0$ .

Lời giải:

Cách 1:

$(P)//(Q)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=(1;-4;1)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;3)$ và có $VTPT\,\,\overrightarrow{n}(1;-4;1)$ là:

$(x-1)-4(y-2)+(z-3)=0\Leftrightarrow x-4y+z+4=0$ .

Chọn đáp án A.

Cách 2:

$(P)$ song song với mặt phẳng $(Q):x-4y+z+12=0$ nên $(P)$ có dạng:

$x-4y+z+D=0\,\,(D\ne 12)$

Vì $(P)$ qua $A(1;2;3)$ nên $1-4.2+3+D=0\Leftrightarrow D=4$ .

Vậy $(P)$ có phương trình là $x-4y+z+4=0$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.2: Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ với $A(2;3;7);\,B(4;1;3)$ là

A. $x+y-2z+9=0$ . B. $x-y-2z-9=0$ .

C. $x-y-2z+9=0$ . D. $x-y+2z+9=0$ .

Lời giải:

Giả sử $(P)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ .

$\Rightarrow VTPT$ của $(P)$ là $\overrightarrow{AB}(2;-2;4)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm $I(3;2;5)$ của $AB$ và có $VTPT\,\overrightarrow{AB}(2;-2;4)$ nên có phương trình là $x-y-2z+9=0$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.3 (Đề minh họa 2017 Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0;1;1)$ và $B(1;2;3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ .

A. $x+y+2z-3=0$ . B. $x+y+2z-6=0$ .

C. $x+3y+4z-7=0$ . D. $x+3y+4z-26=0$ .

Lời giải:

$(P)\bot AB\Rightarrow VTPT\,$ của $(P)$ là $\overrightarrow{AB}(1;1;2)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là

$1.(x-0)+1.(y-1)+2.(z-1)=0\Leftrightarrow x+y+2z-3=0$ .

Chọn đáp án A.

Dạng 2. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có cặp $\displaystyle VTCP\,\,\,\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$

A. Phương pháp

Tìm 2 vecto $\displaystyle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng $(P)$ . Khi đó $VTPT$ của $(P)$ là $\displaystyle \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]$ .

Chú ý:

+ $(P)$ đi qua 3 điểm $A,B,C$ không thẳng hàng $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]$ .

+ $(P)$ vuông góc hai mặt phẳng $(\alpha ),\,(\beta )\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]$ .

+ $\left\{ \begin{array}{l}(P)//d\\(P)\bot (Q)\end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$ .

+ $(P)$ đi qua 2 điểm $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{Q}}},\overrightarrow{AB} \right]$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua 3 điểm $A(2;-1;3);\,B(4;0;1);\,C(-10;5;3)$ là

A. $x+2y-2z+6=0$ . B. $x+2y+2z-6=0$ .

C. $x-2y+2z-6=0$ . D. $\displaystyle x+2y+2z+2=0$ .

Lời giải:

Cách 1:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=(1;2;2)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;-1;3)$ và có $VTPT\,\,\overrightarrow{n}(1;2;2)$ có phương trình là

$1(x-2)+2(y+1)+2(z-3)=0\Leftrightarrow x+2y+2z-6=0$ .

Chọn đáp án B.

Cách 2:

Giả sử mặt phẳng $(P)$ có $VTPT\,\,\overrightarrow{n}(A;B;C)$ , khi đó $(P)$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ .

Vì $(P)$ đi qua 3 điểm $A(2;-1;3);\,B(4;0;1);\,C(-10;5;3)$ nên ta có hệ phương trình

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2A-B+3C+D=0\\4A+C+D=0\\-10A+5B+3C+D=0\end{array} \right.\,\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2A-B+3C+D=0\\2A+B-2C=0\\-12A+6B=0\end{array} \right.$ $\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2A+B-2C=0\\-2A+B=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B=2A\\B=C\end{array} \right.$ .

Chọn $A=1\Rightarrow B=C=2$ $\Rightarrow \overrightarrow{n}(1;2;2)$ .

Khi đó $(P)$ có dạng $x+2y+2z+D=0$ .

Mà $B(4;0;1)\in (P)$ nên $4+2.0+2.1+D=0\Leftrightarrow D=-6$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là $x+2y+2z-6=0$ .

Cách 3 (Trắc nghiệm):

Thay tọa độ $A(2;-1;3);\,B(4;0;1);\,C(-10;5;3)$ vào các đáp án, thấy đáp án B thỏa mãn.

Vậy chọn B.

Ví dụ 2.2: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M(3;-1;-5)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ có phương trình lần lượt là $3x-2y+2z+7=0;\,\,5x-4y+3z+1=0$ .

A. $2x+y-2z-15=0$ . B. $2x+y-2z+15=0$ .

C. $2x+y+2z-15=0$ . D. $2x-y-2z-15=0$ .

Lời giải:

Vecto pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=(2;1;-2)$ .

Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M(3;-1;-5)$ và có $VTPT\,\,\overrightarrow{n}(2;1;-2)$ có phương trình là:

$2(x-3)+1.(y+1)-2(z+5)=0\Leftrightarrow 2x+y-2z-15=0$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;4;1),\,B(-1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):\,x-3y+2z-5=0$ . Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là

A. $2y-3z+11=0$ . B. $2y+3z-11=0$ .

C. $2y-3z-11=0$ . D. $2y+3z+11=0$ .

Lời giải:

$(Q)$ đi qua $A,B$ và vuông góc với $(P)\Rightarrow (Q)$ có $VTPT\,\,\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{AB} \right]=(0;-8;-12)$ .

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là $2y+3z-11=0$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2.4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $E(4;-1;1),\,F(3;1;-1)$ và chứa trục $Ox$ . Phương trình nào là phương trình tổng quát của $(P)$ ?

A. $x+y=0$ . B. $x+y+z=0$ . C. $y+z=0$ . D. $x+z=0$ .

Lời giải:

Cách 1:

Ta có $\overrightarrow{EF}(-1;2;-2)$ .

Trục $Ox$ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{i}(1;0;0)$ .

$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{EF},\overrightarrow{i} \right]=(0;-2;-2)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $E(4;-1;1)$ và có $VTCP\,\,\left[ \overrightarrow{EF},\overrightarrow{i} \right]=(0;-2;-2)$ nên có phương trình là: $0(x-4)-2(y+1)-2(z-1)=0\Leftrightarrow y+z=0$ .

Cách 2:

Mặt phẳng $(P)\supset Ox\Rightarrow (P)$ đi qua điểm $O$ nên có dạng $By+Cz=0$ (Đến đây có thể chọn luôn được đáp án C).

Vì $E(4;-1;1),\,F(3;1;-1)$ thuộc $(P)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}-B+C=0\\B-C=0\end{array} \right.\Rightarrow B=C$ .

Chọn $B=C=1\Rightarrow (P):y+z=0$ .

Chọn đáp án C.

Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

A. Phương pháp

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua 3 điểm $A(a;0;0),\,B(0;b;0),\,C(0;0;c)$ với $a,b,c\ne 0$ là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ .

Để viết phương trình mặt phẳng $(P)$ thông thường giả thiết cho các điều kiện (thường là 3 điều kiện). Từ đó thiết lập được hệ 3 phương trình 3 ẩn $a,b,c$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1 (Đề minh họa 2017 Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;0;0),\,B(0;-2;0);\,C(0;0;3)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng $(ABC)$ ?

A. $\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{1}=1$ . B. $\frac{x}{-2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1$ .

C. $\frac{x}{1}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{3}=1$ . D. $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$ .

Lời giải:

Mặt phẳng đi qua 3 điểm $A(1;0;0),\,B(0;-2;0);\,C(0;0;3)$ có phương trình đoạn chắn là

$\frac{x}{1}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{3}=1$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3.2: Cho điểm $M(1;2;3)$ . Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ , biết rằng $(P)$ cắt ba trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $M$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ .

A. $6x-3y+2x-18=0$ . B. $6x+3y-2z+18=0$ .

C. $6x+3y-2z-18=0$ . D. $6x+3y+2z-18=0$ .

Lời giải:

Do $A,B,C$ lần lượt thuộc $Ox,Oy,Oz$ nên giả sử $A({{x}_{A}};0;0),\,B(0;{{y}_{B}};0),\,C(0;0;{{z}_{C}})$ .

Vì $M$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}=3{{x}_{M}}\\{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}=3{{y}_{M}}\\{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}=3{{z}_{M}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{A}}=3\\{{y}_{B}}=6\\{{z}_{C}}=9\end{array} \right.$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(3;0;0),\,B(0;6;0),\,C(0;0;9)$ có phương trình là:

$\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1\Leftrightarrow (P):\,6x+3y+2z-18=0$ .

Ví dụ 3.3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(4;5;6)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ , cắt các trục tọa độ lần lượt tại $I,J,K$ mà $A$ là trực tâm của $\Delta IJK$ .

A. $4x+5y+6z-77=0$ . B. $5x+4y+6z-76=0$ .

C. $4x+6y+5z-76=0$ . D. $6x+5y+4z-73=0$ .

Lời giải:

Cách 1:

Giả sử $I(a;0;0),\,\,J(0;b;0),\,K(0;0;c)\Rightarrow (P):\,\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ .

$\overrightarrow{IA}(4-a;5;6),\,\overrightarrow{JA}(4;5-b;6);\,\overrightarrow{JK}(0;-b;c),\,\overrightarrow{IK}(-a;0;c)$ .

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{6}{c}=1\\-5b+6c=0\\-4a+6c=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=\frac{77}{4}\\b=\frac{77}{5}\\c=\frac{77}{6}\end{array} \right.$ .

$\Rightarrow (P):4x+5y+6z-77=0$ .

Cách 2:

Ta chứng minh được $OA\bot (IJK)$ , suy ra vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{OA}(4;5;6)$ .

Mặt phẳng $(P)$ qua $A(4;5;6)$ và có $VTPT\,\,\overrightarrow{OA}(4;5;6)$ có phương trình là

$4(x-4)+5(y-5)+6(z-6)=0\Leftrightarrow 4x+5y+6z-77=0$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3.4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(2;4;1)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ tại $A,B,C$ tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho $4OA=2OB=OC$ .

A. $x+2y+4z-14=0$ . B. $4x+2y+z-17=0$ .

C. $4x+2y+z-14=0$ . D. $x+2y+4z-17=0$ .

Lời giải:

Ba điểm $A,B,C$ nằm trên các trục $Ox,Oy,Oz$ tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dương sao cho $4OA=2OB=OC$ , suy ra $A(a;0;0),\,B(0;2a;0),\,C(0;0;4a)$ với $a>0$ .

Phương trình $(ABC):\,\,\frac{x}{a}+\frac{y}{2a}+\frac{z}{4a}=1\Leftrightarrow 4x+2y+z-4a=0$ .

Mặt phẳng $(ABC)$ qua $M(2;4;1)$ nên $4.2+2.4+1-4a=0\Leftrightarrow a=\frac{17}{4}$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $4x+2y+z-17=0$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 3.5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $B(0;3;0),\,M(4;0;-3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $B,M$ và cắt các trục $Ox,Oz$ lần lượt tại các điểm $A$ và $C$ sao cho thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng 3 ( $O$ là gốc tọa độ).

A. $\left[ \begin{array}{l}\frac{x}{4}+\frac{y}{3}-\frac{2z}{3}=1\\\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1\end{array} \right.$ . B. $\left[ \begin{array}{l}\frac{x}{-4}+\frac{y}{3}-\frac{2z}{3}=1\\\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1\end{array} \right.$ .

C. $\left[ \begin{array}{l}\frac{x}{-4}+\frac{y}{3}-\frac{2z}{3}=1\\\frac{x}{2}-\frac{y}{3}+\frac{z}{3}\end{array} \right.$ . D. $\left[ \begin{array}{l}\frac{x}{-4}+\frac{y}{3}-\frac{2z}{3}=1\\\frac{x}{2}-\frac{y}{3}-\frac{z}{3}\end{array} \right.$ .

Lời giải:

Giả sử $A(a;0;0),\,C(0;0;c)$ . Do $OABC$ là hình tứ diện nên $ac\ne 0$ .

Vì $B(0;3;0)\in Oy$ nên $(P):\,\frac{x}{a}+\frac{y}{3}+\frac{z}{c}=1$ .

Điểm $M(4;0;-3)\in (P)\Rightarrow \frac{4}{a}-\frac{3}{c}=1\Leftrightarrow 4c-3a=ac\,\,\,(1)$ .

Thể tích tứ diện $OABC$ là ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{3}OB.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}.3.\frac{1}{2}|ac|\,=3$

⇔|ac| = 6⇔ac = 6 (2) hoặc ac = -6 (3)

Từ (1) và (2) ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}ac=6\\4c-3a=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=-4\\c=-\frac{3}{2}\end{array} \right.\,\,\vee \,\,\left\{ \begin{array}{l}a=2\\c=3\end{array} \right.$ .

Từ (1) và (3) ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}ac=-6\\4c-3a=-6\end{array} \right.$ (vô nghiệm).

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn $({{P}_{1}}):\,\frac{x}{-4}+\frac{y}{3}-\frac{2z}{3}=1;\,\,({{P}_{2}}):\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1$ .

Ví dụ 3.6 (Chuyên KHTN 2017 Lần 4) Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1;1;2)$ , mặt phẳng $(P)$ qua $M$ cắt các hệ trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ . Gọi ${{V}_{OABC}}$ là thể tích tứ diện $OABC$ . Khi $(P)$ thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của ${{V}_{OABC}}$ .

A. $\min {{V}_{OABC}}=\frac{9}{2}$ . B. $\min {{V}_{OABC}}=18$ .

C. $\min {{V}_{OABC}}=9$ . D. $\min {{V}_{OABC}}=\frac{32}{3}$ .

Lời giải:

Giả sử $A(a;0;0),\,B(0;b;0),\,C(0;0;c)\,\,(a,b,c>0)$ .

Mặt phẳng $(P):\,\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ .

Do $M\in (P)$ nên $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}=1\ge 3\sqrt[3]{\frac{2}{abc}}\Rightarrow abc\ge 54$ .

${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc\ge 9$ . Vậy chọn đáp án C.

Ví dụ 3.7 (THPT Lý Tự Trọng – TPHCM) Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $E(8;1;1)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ qua $E$ và cắt nửa trục dương $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $OG$ nhỏ nhất, với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

A. $x+y+2z-11=0$ . B. $8x+y+z-66=0$ .

C. $2x+y+z-18=0$ . D. $x+2y+2z-12=0$ .

Lời giải:

Gọi $A(a;0;0),\,B(0;b;0),\,C(0;0;c)$ với $a,b,c>0$ . Theo đề bài ta có: $\frac{8}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ .

Cần tìm giá trị nhỏ nhất của ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ .

Ta có $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)(4+1+1)\ge {{(a.2+b.1+c.1)}^{2}}$ $\Rightarrow 6.({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})\ge {{(2a+b+c)}^{2}}$ .

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$\sqrt{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)(4+1+1)}\ge (2.a+b.1+c.1)$

$=(2a+b+c)\left( \frac{8}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge {{(4+1+1)}^{2}}=36$ .

Suy ra ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge {{6}^{3}}$ .

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}}{4}={{b}^{2}}={{c}^{2}}\Rightarrow a=2b=2c$ .

Vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi $a=12,b=c=6$ .

Vậy phương trình mặt phẳng là $\frac{x}{12}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1$ hay $x+2y+2z-12=0$ .

Chọn đáp án D.

Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

A. Phương pháp

Giả sử $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ là $VTPT$ của $(P)$ , khi đó $(P)$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ .

Mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q):\,ax+by+cz+d=0$

$\Rightarrow (P):\,ax+by+cz+D=0\,\,\,(D\ne d)$ .

Khoảng cách từ điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ đến mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$ là:

$d\left( M,(P) \right)=\frac{|A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{D}^{2}}}}$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 4.1 (Đề minh họa 2017) Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):3x+4y+2z+4=0$ và điểm $A(1;-2;3)$ . Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$ .

A. $d=\frac{5}{9}$ . B. $d=\frac{5}{29}$ . C. $d=\frac{5}{\sqrt{29}}$ . D. $d=\frac{\sqrt{5}}{3}$ .

Lời giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:

$d\left( A,(P) \right)=\frac{|a.{{x}_{A}}+b.{{y}_{A}}+c.{{z}_{A}}+d|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{5}{\sqrt{29}}$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 4.2: Trong không gian $Oxyz$ , khoảnh cách giữa hai mặt phẳng $(P):2x+4y+4z+1=0$ và $(Q):x+2y+2z+2=0$ là

A. $\frac{3}{2}$ . B. 1. C. $\frac{1}{2}$ . D. $\frac{5}{2}$ .

Lời giải:

Mặt phẳng $(P)//(Q)$ nên $d\left( (P),(Q) \right)=d\left( M,(P) \right)$ $=\frac{|0.2+0.4+4.(-1)+1|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\frac{1}{2}$ với $\displaystyle M(0;0;-1)\in (Q)$ .

Chú ý:
Hai mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0,\,(Q):A'x+B'y+C'z+D'=0$ song song với nhau. Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có thể tính là

$d\left( (P),(Q) \right)=\frac{|D-D'|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$ .

Áp dụng: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là:

$d\left( (P),(Q) \right)=\frac{|D-D'|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$ $=\frac{\left| 2-\frac{1}{2} \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{1}{2}$ .

Ví dụ 4.3: Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(Q):\,x-2y+2z-3=0$ và điểm $A(3;1;1)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$ và $d\left( A;(P) \right)=2$ .

A. $({{P}_{1}}):\,x-2y+2z-9=0;\,\,({{P}_{2}}):\,x-2y+2z+3=0$ .

B. $({{P}_{1}}):\,x-2y+2z+9=0;\,\,({{P}_{2}}):\,x-2y+2z-3=0$ .

C. $({{P}_{1}}):\,x-2y+2z-9=0;\,\,({{P}_{2}}):\,x-2y+2z-3=0$ .

D. $({{P}_{1}}):\,x-2y+2z+9=0;\,\,({{P}_{2}}):\,x-2y+2z+3=0$ .

Lời giải:

Vì $(P)//(Q)\Rightarrow (P)$ có dạng $x-2y+2z+D=0\,\,\,(D\ne -3)$ .

$d\left( A,(P) \right)=2\Leftrightarrow \frac{|3+D|}{3}=2$ $\Leftrightarrow |3+D|\,=6\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D=-9\\D=3\end{array} \right.$ .

Vậy $({{P}_{1}}):\,x-2y+2z-9=0;\,\,({{P}_{2}}):\,x-2y+2z+3=0$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 4.4: Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $O$ , vuông góc với mặt phẳng $(Q):x+y+z=0$ và cách điểm $M(1;2;-1)$ một khoảng bằng $\sqrt{2}$ .

A. $x-z+1=0,\,\,5x-8y+3x=0$ . B. $x-z=0,\,\,5x-8y+3z=0$ .

C. $x-z+1=0,\,\,5x+8y-3z=0$ . D. $x-z=0,\,\,5x+8y-3z=0$ .

Lời giải:

Mặt phẳng $(P)$ qua $O$ nên có dạng $Ax+By+Cz=0\,\,\,\,({{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}>0)$ .

Vì $(P)\bot (Q)$ nên $1.A+1.B+1.C=0\Leftrightarrow C=-A-B\,\,\,\,(1)$ .

$d\left( M,(P) \right)=\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow {{(A+2B-C)}^{2}}=2({{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}})\,\,\,\,\,\,(2)$ .

Từ (1) và (2) ta được:

Từ (3) có $B=0\Rightarrow C=-A$ . Chọn $A=1,C=-1\Rightarrow (P):x-z=0$ .

Từ (4) suy ra $8A+5B=0$ . Chọn $A=5,\,B=-8\Rightarrow C=3\Rightarrow (P):\,5x-8y+3z=0$ .

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn đề bài $x-z=0,\,\,5x-8y+3z=0$ .

Ví dụ 4.5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 3 điểm $M(-1;1;0),\,N(0;0;-2),\,I(1;1;1)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A,B$ và đồng thời khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ bằng $\sqrt{3}$ .

A. $x-y+z+2=0$ .

B. $7x+5y+z+2=0$ .

C. $x-y+z+2=0,\,\,\,7x+5y+z+2=0$ .

D. $x-y-z+2=0$ .

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax+by+cz+d=0\,\,\,({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0)$ .

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}M\in (P)\\N\in (P)\\d\left( I,(P) \right)=\sqrt{3}\end{array} \right.$

Từ (1), ta có phương trình mặt phẳng $(P):x-y+z+2=0$ .

Từ (2), ta có phương trình mặt phẳng $(P):7x+5y+z+2=0$ .

Ví dụ 4.6: Tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng $(P):x+2y+z-1=0$ và $(Q):x+2y+z+5=0$ là

A. $x-2y+z+2=0$ . B. $x+2y+z+2=0$ .

C. $x+2y-z+2=0$ . D. $x+2y+z-2=0$ .

Lời giải:

Gọi $M(x;y;z)$ là điểm cách đều $(P)$ và $(Q)$ . Ta có:

$d\left( M,(P) \right)=d\left( M,(Q) \right)$ $\Leftrightarrow \frac{|x+2y+z-1|}{\sqrt{1+4+1}}=\frac{|x+2y+z+5|}{\sqrt{1+4+1}}$

$\Leftrightarrow x+2y+z-1=\pm (x+2y+z+5)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x+2y+z-1=x+2y+z+5\\x+2y+z-1=-x-2y-z-5\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow -1=5$ (vô lí) hoặc $x+2y+z+2=0$ .

Vậy tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng $x+2y+z+2=0$ .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4.7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;-1;1)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và cách gốc tọa độ $O$ một khoảng lớn nhất.

A. $2x-y+z+6=0$ . B. $2x+y+z-6=0$ .

C. $2x-y-z-6=0$ . D. $2x-y+z-6=0$ .

Lời giải:

Ta có $d\left( O,(P) \right)\le OA$ .

Do đó $d{{\left( O,(P) \right)}_{\max }}=OA\Leftrightarrow OA\bot (P)$ .

Vì vậy mặt phẳng $(P)$ cần tìm là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $OA$ .

Ta có $\overrightarrow{OA}(2;-1;1)$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là $2x-y+z-6=0$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 4.8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $M(0;-1;2),\,N(-1;1;3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M,N$ sao cho khoảng cách từ điểm $K(0;0;2)$ đến mặt phẳng $(P)$ là lớn nhất.

A. $x+y-z+3=0$ . B. $x-y+z+3=0$ .

C. $x+y-z-3=0$ . D. $x-y-z+3=0$ .

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng:

$Ax+B(y+1)+C(z-2)=0$ $\Leftrightarrow Ax+By+Cz+B-2C=0\,\,({{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0)$ .

$N(-1;1;3)\in (P)\,\Rightarrow -A+B+3C+B-2C=0$ $\Leftrightarrow A=2B+C$

$\Rightarrow (P):\,\,\,(2B+C)x+By+Cz+B-2C=0$

$d\left( K,(P) \right)=\frac{|B|}{\sqrt{4{{B}^{2}}+2{{C}^{2}}+4BC}}$ .

Nếu $B=0\Rightarrow d\left( K,(P) \right)=0$ (loại)

Nếu $B\ne 0$ thì $d\left( K,(P) \right)=\frac{|B|}{\sqrt{4{{B}^{2}}+2{{C}^{2}}+4BC}}$ $=\frac{1}{\sqrt{2{{\left( \frac{C}{B}+1 \right)}^{2}}+2}}\le \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow B=-C$ . Chọn $C=1$ .

Khi dó phương trình mặt phẳng $(P)$ là $x+y-z+3=0$ .

Chọn đáp án A.

Dạng 5. Góc giữa hai mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

A. Phương pháp

Góc giữa hai mặt phẳng $(P):\,Ax+By+Cz+D=0$ và $(Q):\,A'x+B'y+C'z+D'=0$ được xác định bởi công thức:

$\cos \left( (P),(Q) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{n'} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{n},\overrightarrow{n'} \right|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{n'}|}$ $=\frac{\left| AA'+BB'+CC' \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}.\sqrt{A{{'}^{2}}+B{{'}^{2}}+C{{'}^{2}}}}$ .

trong đó $\overrightarrow{n}(A;B;C),\,\overrightarrow{n'}(A';B';C')$ .

Chú ý: ${{0}^{0}}\le \widehat{\left( (P),(Q) \right)}\le {{90}^{0}}$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 5.1: Cho hai mặt phẳng $(P):x-5y+2z-4=0$ và $(Q):2x+y-z+9=0$ . Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $(P),(Q),\,\cos \varphi$ là số nào ?

A. $\frac{\sqrt{5}}{6}$ . B. $\frac{\sqrt{6}}{5}$ . C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$ . D. $\frac{\sqrt{3}}{5}$ .

Lời giải:

$(P)$ có $VTPT$ là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}(1;-5;2)$ .

$(Q)$ có $VTPT$ là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}(2;1;-1)$ .

$\cos \varphi =\cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right)$ $=\frac{|1.2-5.1-1.2|}{\sqrt{1+25+4}.\sqrt{4+1+1}}=\frac{\sqrt{5}}{6}$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 5.2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và tạo với các trục $Ox,Oy$ các góc tương ứng là ${{45}^{0}}{{,30}^{0}}$ .

A. $\sqrt{2}x+y+z-\sqrt{2}-5=0$ .

B. $\sqrt{2}x+y-z+1-\sqrt{2}=0$ .

C. $-\sqrt{2}x+y+x+\sqrt{2}-5=0;\,\,-\sqrt{2}x+y+x+\sqrt{2}+1=0$ .

D. Cả 3 đáp án trên.

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow{n}(a;b;c)$ là $VTPT$ của $(P)$ . Các $VTPT$ của trục $Ox,Oy$ là $\overrightarrow{i}(1;0;0),\,\overrightarrow{j}(0;1;0)$ .

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\sin (Ox,(P))=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\sin \left( Oy,(P) \right)=\frac{1}{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}|a|\,=\sqrt{2}\,|b|\\|c|\,=\,|b|\end{array} \right.$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $\sqrt{2}(x-1)+(y-2)\pm (z-3)=0$

hoặc $-\sqrt{2}(x-1)+(y-2)\pm (z-3)=0$ .

Ví dụ 5.3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng

$(P):5x-2y+5z-1=0$ và $(Q):x-4y-8z+12=0$ . Lập phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua gốc tọa độ $O$ , vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và tạo với mặt phẳng $(Q)$ một góc $\alpha ={{45}^{0}}$

A. $x-z=0$ . B. $x+20y+7z=0$ .

C. $x-z=0;\,\,x+20y+7z=0$ . D. Đáp án khác.

Lời giải:

Giả sử phương trình mặt phẳng $(R)$ có dạng $ax+by+cz+d=0\,\,({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0)$ .

Ta có $(R)\bot (P)\Leftrightarrow 5a-2b+5c=0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$ .

$\cos \widehat{\left( (R),(Q) \right)}=\cos {{45}^{0}}\Leftrightarrow \frac{|a-4b-8c|}{9\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$7{{a}^{2}}+6ac-{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a=-c\\c=7a\end{array} \right.$ .

Với $a=-c$ , chọn $a=1,b=0,c=-1\Rightarrow (R):x-z=0$ .

Với $c=7a$ , chọn $a=1,b=20,c=7\Rightarrow (R):x+20y+7z=0$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 5.4 (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định 2017 Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2;-1),\,B(0;4;0)$ , mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x-y-2z+2017=0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A,B$ và tạo với mặt phẳng $(P)$ một góc nhỏ nhất.

A. $2x-y-z-4=0$ . B. $2x+y-3z-4=0$ .

C. $\displaystyle x+y-z+4=0$ . D. $x+y-z-4=0$ .

Lời giải:

Cách 1: Đáp án A, B và C loại do mặt phẳng không đi qua điểm $A$ .

Cách 2: Gọi $M$ là giao điểm của $AB$ và mặt phẳng $(P),H$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(P)$ . Ta có $\widehat{AMH}=\alpha$ là góc tạo bởi $AB$ và mặt phẳng $(P)$ .

Kẻ $AI$ vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ . Ta có $\widehat{AIH}=\beta$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ . Dễ dàng chứng minh được góc tạo bởi hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ nhỏ nhất bẳng $\widehat{AMH}$ là góc tạo bởi $AB$ và mặt phẳng $(P)$ .

Ta có $\sin \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Gọi $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ là $VTPT$ của mặt phẳng $(Q)$ , khi đó

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=0\\\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array} \right.\,\,$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-A+2B+C=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\frac{|2A-B-2C|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$