Hệ tọa độ trong không gian

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. Lý thuyết cơ bản

1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian

Cho ba trục $Ox,Oy,Oz$ vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc $O$ . Gọi $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\,\overrightarrow{k}$ là các vecto đơn vị tương ứng trên các trục $Ox,Oy,Oz$ . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc $Oxyz$ (hoặc đơn giản là hệ tọa độ $Oxyz$ ).

Chú ý: ${{\overrightarrow{i}}^{2}}={{\overrightarrow{j}}^{2}}={{\overrightarrow{k}}^{2}}=1$ và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=0$ .

2. Tọa độ của vec to

Định nghĩa: $\displaystyle \overrightarrow{u}(x;y;z)\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}$

Tính chất: Cho $\displaystyle \overrightarrow{u}(x;y;z),\,\overrightarrow{v}(x';y';z')$ , ta có:

+ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=x'\\y=y'\\z=z'\end{array} \right.$ .

+ $\overrightarrow{u}\pm \overrightarrow{v}=(x\pm x';y\pm y';z\pm z')$ .

+ $k\overrightarrow{u}=(kx;ky;kz)$ .

+ $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$ .

+ $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{v}\Leftrightarrow xx'+yy'+zz'=0$ .

+ $|\overrightarrow{u}|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\Rightarrow |\overrightarrow{u}{{|}^{2}}=\,{{\overrightarrow{u}}^{2}}$

+ $\overrightarrow{0}(0;0;0),\,\,\overrightarrow{i}(1;0;0),\,\overrightarrow{\,j}(0;1;0),\,\,\overrightarrow{k}(0;0;1)$ .

+ $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{v}\,(\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0})\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\,(k\in \mathbb{R})$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=kx'\\y=ky'\\z=kz'\end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{x}{x'}=\frac{y}{y'}=\frac{z}{z'}$ .

$(x',y',z'\ne 0)$ .

+ $\displaystyle \cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$ $\displaystyle =\frac{xx'+yy'+zz'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}.\sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}+z{{'}^{2}}}}$ .

3. Tọa độ của điểm

- Định nghĩa: $M(x;y;z)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=(x;y;z)$ .

- Tính chất: Cho $A({{x}_{A}};{{y}_{A}};{{z}_{A}}),\,B({{x}_{B}};{{y}_{B}};{{z}_{B}})$

$\overrightarrow{AB}=({{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}};{{z}_{B}}-{{z}_{A}})$

$AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{{({{x}_{B}}-{{x}_{A}})}^{2}}+{{({{y}_{B}}-{{y}_{A}})}^{2}}+{{({{z}_{B}}-{{z}_{A}})}^{2}}}$ .

- Tọa độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$ : $M\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2} \right)$ .

- Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ :

$G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3},\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3} \right)$ .

- Tọa độ trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ là:

$G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}+{{x}_{D}}}{4},\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}+{{y}_{D}}}{4};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}+{{z}_{D}}}{4} \right)$ .

4. Tích có hướng của hai vecto

- Định nghĩa: Cho $\displaystyle \overrightarrow{u}(x;y;z),\,\overrightarrow{v}(x';y';z')$

- Tính chất:

+ $\left[ \overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right]\,=\overrightarrow{k}$ ; $\left[ \overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right]=\overrightarrow{i}$ ; $\left[ \overrightarrow{k},\overrightarrow{i} \right]=\overrightarrow{j}$ .

+ $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]\bot \overrightarrow{u}$ ; $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]\bot \overrightarrow{v}$ .

+ $\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right] \right|=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.\sin (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ .

+ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng phương $\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]=\overrightarrow{0}$ .

- Ứng dụng của tích có hướng:

+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto: và đồng phẳng ⇔.

+ Diện tích hình bình hành ABCD: .

+ Diện tích hình tam giác ABC: .

+ Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D': .

+ Thể tích tứ diện ABCD: .

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm tọa độ của điểm, vecto và các yếu tố liên quan đến vecto thỏa mãn một số điều kiện cho trước

A. Phương pháp

Các điểm đặc biệt của $\Delta ABC$ :

+ $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC\Leftrightarrow \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$

$\Rightarrow G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3},\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3} \right)$ .

+ $H$ là trực tâm của $\Delta ABC\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{BH}\bot \overrightarrow{AC}\end{array} \right.$ ( $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}$ đồng phẳng).

+ $A'$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của $\Delta ABC\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{AA'}\bot \overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{BA'}=k\overrightarrow{BC}\end{array} \right.$ .

+ $D$ là chân đường phân giác trong của góc $\widehat{A}\Leftrightarrow \overrightarrow{DB}=-\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{DC}$ .

Các điểm đặc biệt của tứ diện $ABCD$

- Trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ là

$G\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}+{{x}_{D}}}{4},\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}+{{y}_{D}}}{4};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}+{{z}_{D}}}{4} \right)$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho vecto $\overrightarrow{AO}=3(\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j})-2\overrightarrow{k}+5\overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ điểm $A$ .

A. $A(3;-2;5)$ . B. $A(-3;-17;2)$ . C. $A(3;17;-2)$ . D. $A(3;5;-2)$ .

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{i}=(1;0;0),\,\overrightarrow{j}=(0;1;0),\,\overrightarrow{k}=(0;0;1)$ .

$\overrightarrow{AO}=3(\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j})-2\overrightarrow{k}+5\overrightarrow{j}=(3;17;-2)$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.2: Cho vecto $\overrightarrow{a}(2;-5;3),\,\overrightarrow{b}(0;2;-1),\,\overrightarrow{c}(1;7;2)$ , tọa độ vecto $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$ là

A. $\overrightarrow{d}(0;-27;3)$ . B. $\overrightarrow{d}(0;27;3)$ . C. $\overrightarrow{d}(0;-27;-3)$ . D. $\overrightarrow{d}(0;-2;3)$ .

Lời giải:

Ta có:

$\overrightarrow{a}=(2;-5;3),\,-4\overrightarrow{b}=(0;-8;4),\,-2\overrightarrow{c}=(-2;-14;-4)$ $\Rightarrow \overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}=(0;-27;3)$

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.3: Cho ba vecto $\overrightarrow{a}=(1;2;3),\,\overrightarrow{c}=(4;0;-4)$ , tọa độ vecto $\overrightarrow{d}$ thỏa mãn $2\overrightarrow{d}-3\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}$ là

A. $\overrightarrow{d}=\left( \frac{7}{2};3;\frac{5}{2} \right)$ . B. $\overrightarrow{d}=\left( \frac{7}{2};-3;\frac{5}{2} \right)$ . C. $\overrightarrow{d}=(7;3;5)$ . D. $\overrightarrow{d}=\left( \frac{7}{2};3;-\frac{5}{2} \right)$ .

Lời giải:

$2\overrightarrow{d}-3\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}\Rightarrow \overrightarrow{d}=\frac{3}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$ $=\left( \frac{3}{2}+2;3;\frac{9}{2}-2 \right)=\left( \frac{7}{2};3;\frac{5}{2} \right)$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.4: Cho vecto $\overrightarrow{u}=(3;2;-5)$ , trong các vecto sau, vecto nào cùng phương với $\overrightarrow{u}$ ?

A. $\overrightarrow{a}=(6;-4;10)$ . B. $\overrightarrow{b}=\left( 2;\frac{4}{3};-\frac{10}{3} \right)$ . C. $\overrightarrow{c}=(6;4;10)$ . D. $\overrightarrow{d}=(1;-4;2)$ .

Lời giải:

$\overrightarrow{u}({{u}_{1}};{{u}_{2}};{{u}_{3}})$ cùng phương với $\overrightarrow{v}({{v}_{1}};{{v}_{2}};{{v}_{3}})$ $\Leftrightarrow \frac{{{u}_{1}}}{{{v}_{1}}}=\frac{{{u}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\frac{{{u}_{3}}}{{{v}_{3}}}\Rightarrow$ Chọn B.

Ví dụ 1.5: Trong không gian $Oxyz$ , cho 2 vecto $\displaystyle \overrightarrow{a}=(5;7;2),\overrightarrow{b}=(1;3;-4)$ , tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có giá trị bằng

A. 18. B. 34. C. 14. D. 0.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=5.1+7.3+2(-4)=5+21-8=18$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.6: Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(-1;-2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Tính $\cos \widehat{BAC}$ bằng

A. $\frac{9}{2}$ . B. $\frac{-9}{2\sqrt{35}}$ . C. $\frac{9}{\sqrt{35}}$ . D. $\frac{9}{2\sqrt{35}}$ .

Lời giải:

Ta có $\displaystyle \overrightarrow{AB}=(1;5;-2),\overrightarrow{AC}=(5;4;-1)$ .

$\cos \widehat{BAC}=\cos \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)$ $=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}=\frac{9}{2\sqrt{35}}$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 1.7: Cho ba điểm $A(1;-1;1),B(0;1;2),C(1;0;1)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

A. $G\left( \frac{2}{3};0;\frac{4}{3} \right)$ . B. $G\left( \frac{2}{3};\frac{4}{3};0 \right)$ . C. $G\left( \frac{2}{3};0;-\frac{4}{3} \right)$ . D. $G\left( -\frac{2}{3};0;\frac{4}{3} \right)$ .

Lời giải:

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{G}}=\frac{1}{3}({{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}})=\frac{2}{3}\\{{y}_{G}}=\frac{1}{3}({{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}})=0\\{{z}_{G}}=\frac{1}{3}({{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}})=\frac{4}{3}\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.8: Trong không gian $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ có $A(1;0;2),B(-2;1;3)$ , $C(3;2;4),D(6;9;-5)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ là

A. $G(-2;-3;-1)$ . B. $G(-2;3;1)$ . C. $G(2;3;1)$ . D. $(2;3;-1)$ .

Lời giải:

Trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ là $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{G}}=\frac{1}{4}({{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}})=2\\{{y}_{G}}=\frac{1}{4}({{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}})=3\\{{z}_{G}}=\frac{1}{4}({{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}})=1\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.9: Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;0;-2),\,B(2;1;-1),\,C(1;-2;2)$ . Xác định tọa độ điểm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành.

A. $D(0;-3;1)$ . B. $D(0;3;1)$ . C. $D(3;0;1)$ . D. $D(0;-3;-1)$ .

Lời giải:

Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ .

Ta có $\displaystyle \overrightarrow{AB}=(1;1;1)$ .

Gọi $D(x;y;z)\Rightarrow \overrightarrow{DC}=(1-x;-2-y;2-z)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1=1-x\\1=-2-y\\1=2-z\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=-3\\z=1\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.10: Trong không gian $Oxyz$ , cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $A(1;1;1)$ , $B(1;2;1),\,C(1;1;2)$ và $A'(2;2;1)$ . Tìm tọa độ đỉnh $B'$ ?

A. $B'(2;3;2)$ . B. $B'(2;3;0)$ . C. $B'(2;3;1)$ . D. $B'(2;3;-1)$ .

Lời giải:

Do $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên $\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AA'}\Rightarrow B'(2;3;1)$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 1.11: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(1;0;1),\,B(2;1;2),D(1;-1;1),C'(4;5;-5)$ .

a) Xác định tọa độ đỉnh $C$ của hình hộp.

A. $C(2;2;0)$ . B. $C(2;0;2)$ . C. $C(0;2;2)$ . D. $C(2;0;-2)$ .

b) Xác định tọa độ đỉnh $B'$ của hình hộp.

A. $B'(6;5;-4)$ . B. $B'(-4;5;-6)$ . C. $B'(4;-6;-5)$ . D. $B'(4;6;-5)$ .

c) Xác định tọa độ đỉnh $A'$ của hình hộp.

A. $A'(3;5;-6)$ . B. $A'(-3;-5;-6)$ . C. $A'(-3;5;6)$ . D. $A'(3;-5;-6)$ .

d) Xác định tọa độ đỉnh $D'$ của hình hộp.

A. $D'(3;-4;-6)$ . B. $D'(-3;4;-6)$ . C. $D'(3;4;-6)$ . D. $D'(3;4;6)$ .

Lời giải:

a) Gọi $C({{x}_{C}};{{y}_{C}};{{z}_{C}})$ , ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ .

$\overrightarrow{AD}=(0;-1;0),\,\overrightarrow{BC}=({{x}_{C}}-2;{{y}_{C}}-1;{{z}_{C}}-2)$ .

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{C}}-2=0\\{{y}_{C}}-1=-1\\{{z}_{C}}-2=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{C}}=2\\{{y}_{C}}=0\\{{z}_{C}}=2\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án B.

b) Gọi $B'({{x}_{B'}};{{y}_{B'}};{{z}_{B'}})$ . Ta có $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{C'B'}$ .

$\overrightarrow{CB}=(0;1;0),\,\overrightarrow{C'B'}=({{x}_{B'}}-4;{{y}_{B'}}-5;{{z}_{B'}}+5)$ .

$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{C'B'}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{B'}}-4=0\\{{y}_{B'}}-5=0\\{{z}_{B'}}+5=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{B'}}=4\\{{y}_{B'}}=6\\{{z}_{B'}}=-5\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án D.

c) Gọi $A'({{x}_{A'}};{{y}_{A'}};{{z}_{A'}})$ , ta có $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{B'A'}$ .

$\overrightarrow{BA}=(-1;-1;-1),\,\overrightarrow{B'A'}=({{x}_{A'}}-4;{{y}_{A'}}-6;{{z}_{A'}}+5)$ .

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{B'A'}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{A'}}-4=-1\\{{y}_{A'}}-6=-1\\{{z}_{A'}}+5=-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{A'}}=3\\{{y}_{A'}}=5\\{{z}_{A'}}=-6\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án A.

d) Gọi $D'({{x}_{D'}};{{y}_{D'}};{{z}_{D'}})$ , ta có $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{C'D'}$ .

$\overrightarrow{CD}=(-1;-1;-1),\,\overrightarrow{C'D'}=({{x}_{B'}}-4;{{y}_{B'}}-5;{{z}_{B'}}+5)$ .

$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{C'D'}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{D'}}-4=-1\\{{y}_{D'}}-5=-1\\{{z}_{D'}}+5=-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{D'}}=3\\{{y}_{D'}}=4\\{{z}_{D'}}=-6\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án C.

Dạng 2. Tích có hướng và ứng dụng

Ví dụ 2.1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai vecto $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;-3;-1),\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(3;-5;1)$ . Tính $\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|$ .

A. $\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|=(-8;-5;-1)$ . B. $\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|=(8;5;1)$ .

C. $\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|=20$ . D. $\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|=3\sqrt{10}$ .

Lời giải:

$\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(-8;-5;-1)\Rightarrow \left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2.2: Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(3;-4;0),B(0;2;4),C(4;2;1)$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ ?

A. $\frac{\sqrt{491}}{2}$ . B. $\frac{\sqrt{490}}{2}$ . C. $\frac{\sqrt{494}}{2}$ . D. $\frac{\sqrt{394}}{2}$ .

Lời giải:

$\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(-18;7;-24)$ .

$S=\frac{1}{2}\sqrt{{{18}^{2}}+{{7}^{2}}+{{24}^{2}}}=\frac{\sqrt{494}}{2}$ .

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2.3: Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;0;-2),B(3;-1;-4),C(-2;2;0)$ . Điểm $D$ trong mặt phẳng $(Oyz)$ có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện $ABCD$ bằng 2 và khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ bằng 1 có thể là

A. $D(0;-3;-1)$ . B. $D(0;2;-1)$ . C. $(0;1;-1)$ . D. $D(0;3;-1)$ .

Lời giải:

Do $D\in (Oyz)\Rightarrow D(0;b;c)$ với $c<0$ .

Theo giả thiết: $d\left[ D,(Oxy) \right]=1\Leftrightarrow |c|\,=1$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c=1\\c=-1\end{array} \right.\Rightarrow D(0;b;-1)$ .

Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-2),\overrightarrow{AC}=(-4;2;2),\overrightarrow{AD}=(-2;b;1)$ .

Suy ra $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(2;6;-2)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=6b-6$ .

${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|$ $=\,|b-1|\,=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b=3\\b=-1\end{array} \right.$ .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2.4: Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ, $B(a;0;0),D(0;a;0),A'(0;0;b)$ với $a>0,b>0$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CC'$ . Giả sử $a+b=4$ , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện $A'BDM$ ?

A. $\max {{V}_{A'MBD}}=\frac{64}{27}$ . B. $\max {{V}_{A'MBD}}=1$ .

C. $\max {{V}_{A'MBD}}=-\frac{64}{27}$ . D. $\max {{V}_{A'MBD}}=\frac{27}{64}$ .

Lời giải:

Ta có $C(a;a;0),B'(a;0;b),D'(0;a;b),C'(a;a;b)$ $\Rightarrow M\left( a;a;\frac{b}{2} \right)$ .

Suy ra $\overrightarrow{A'B}=(a;0;-b),\overrightarrow{A'D}=(0;a;-b),\overrightarrow{AM}=\left( a;a;-\frac{b}{2} \right)$ .

$\Rightarrow \left[ \overrightarrow{A'B},\overrightarrow{A'D} \right]=(ab;ab;{{a}^{2}})$ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{A'B},\overrightarrow{A'D} \right].\overrightarrow{A'M}=\frac{3{{a}^{2}}b}{2}\Rightarrow {{V}_{A'MBD}}=\frac{{{a}^{2}}b}{4}$ .

Do $a,b>0$ nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:

$4=a+b=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}a+b\ge 3.\sqrt[3]{\frac{1}{4}{{a}^{2}}b}\Rightarrow {{a}^{2}}b\le \frac{64}{27}$ .

Suy ra $\max {{V}_{A'MBD}}=\frac{64}{27}$ .

Chọn đáp án A.

Ví dụ 2.5 (THPT Nguyễn Khuyến TP HCM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gộc tọa độ $O$ , các đỉnh $B(m;0;0)$ , $D(0;m;0),A'(0;0;n)$ với $m,n>0$ và $m+n=4$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CC'$ . Khi đó thể tích tứ diện $BDA'M$ đạt giá trị lớn nhất bằng