Phương trình Mũ và Logarit

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A. Lý thuyết cơ bản:

1. Phương trình mũ:

- Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn số ở số mũ của lùy thừa.

- Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng ${{a}^{x}}=b\,(0<a\ne 1)$ .

+ Nếu $b\le 0$ , phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $b>0$ , phương trình có nghiệm duy nhất $x={{\log }_{a}}b$ .

2. Phương trình logarit:

- Phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit.

- Phương trình logarit cơ bản là phương trình có dạng ${{\log }_{a}}x=b\,\,(0<a\ne 1)$ .

- Phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất $x={{a}^{b}}$ .

B. Bài tập:

Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

A. Phương pháp

* Đối với phương trình mũ: ${{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}$ .

- Nếu $a$ là một số dương khác 1 thì: a^f(x) = a^g(x)⟺ f(x) = g(x).

- Nếu $a$ chứa biến thì: ${{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a>0\\(a-1)\text{ }\!\![\!\!\text{ }f(x)-g(x)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }=0\end{array} \right.$

* Đối với phương trình logarit: Biến đổi phương trình về dạng:

${{\log }_{a}}f(x)={{\log }_{a}}g(x)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0<a\ne 1\\f(x)>0\\f(x)=g(x)\end{array} \right.$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) ${{2}^{x+1}}{{.4}^{x-1}}.\frac{1}{{{8}^{1-x}}}={{16}^{x}}$ .

b) ${{3}^{x-1}}{{.2}^{x+1}}=24$ .

c) ${{2}^{{{x}^{2}}-1}}+{{2}^{{{x}^{2}}+2}}={{3}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}-1}}$ .

d) ${{(\sqrt{10}+3)}^{\frac{x-3}{x-1}}}={{(\sqrt{10}-3)}^{\frac{x+1}{x+3}}}$ .

e) ${{(2+x-{{x}^{2}})}^{\sin x}}={{(2+x-{{x}^{2}})}^{2-\sqrt{3}\cos x}}$ .

f) ${{(x-3)}^{3{{x}^{2}}-5x+2}}={{({{x}^{2}}-6x+9)}^{{{x}^{2}}+x-4}}$ .

Lời giải:

a) Phương trình tương đương

${{2}^{x+1}}{{.2}^{2(x-1)}}.\frac{1}{{{2}^{3(1-x)}}}={{2}^{4x}}\Leftrightarrow {{2}^{x+1+2x-2-3+3x}}={{2}^{4x}}\Leftrightarrow 6x-4=4x\Leftrightarrow x=2$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ .

b) ${{3}^{x-1}}{{.2}^{x+1}}=24\Leftrightarrow \frac{{{3}^{x}}}{3}{{.2.2}^{x}}=24\Leftrightarrow {{3}^{x}}{{.2}^{x}}=36\Leftrightarrow {{6}^{x}}={{6}^{2}}\Leftrightarrow x=2$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ .

c) ${{2}^{{{x}^{2}}-1}}+{{2}^{{{x}^{2}}+2}}={{3}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}-1}}\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}}}(\frac{1}{2}+{{2}^{2}})={{3}^{{{x}^{2}}}}(1+\frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}}}.\frac{9}{2}={{3}^{{{x}^{2}}}}.\frac{4}{3}\Leftrightarrow {{(\frac{2}{3})}^{{{x}^{2}}}}={{(\frac{2}{3})}^{3}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=3\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}$ .

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=-\sqrt{3},\,\,x=\sqrt{3}$ .

d) ${{(\sqrt{10}+3)}^{\frac{x-3}{x-1}}}={{(\sqrt{10}-3)}^{\frac{x+1}{x+3}}}$ .

Điều kiện: $x\ne 1,x\ne -3$ .

Ta có $(\sqrt{10}+3)(\sqrt{10}-3)=1\Rightarrow \sqrt{10}-3=\frac{1}{\sqrt{10}+3}={{(\sqrt{10}+3)}^{-1}}$ .

Khi đó phương trình tương đương ${{(\sqrt{10}+3)}^{\frac{x-3}{x-1}}}={{(\sqrt{10}+3)}^{\frac{x+1}{x+3}}}\Leftrightarrow \frac{x-3}{x-1}=\frac{x+1}{x+3}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-9=-({{x}^{2}}-1)\Leftrightarrow {{x}^{2}}=5\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{5}$ .

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-\sqrt{5};\sqrt{5}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ .

e) ${{(2+x-{{x}^{2}})}^{\sin x}}={{(2+x-{{x}^{2}})}^{2-\sqrt{3}\cos x}}$ .

Phương trình tương đương

$\left\{ \begin{array}{l}2+x-{{x}^{2}}>0\\(2+x-{{x}^{2}}-1)(\sin x-2+\sqrt{3}\cos x)=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-1<x<2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\\\left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-x-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array} \right.$

Giải (1) ta được ${{x}_{1,2}}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ thỏa mãn điều kiện (*).

Giải (2): $\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=1\Leftrightarrow \sin (x+\frac{\pi }{3})=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$ .

Để nghiệm thỏa mãn (*) ta phải có:

$-1<\frac{\pi }{6}+k2\pi <2\Leftrightarrow \frac{1}{2\pi }(-1-\frac{\pi }{6})<k<\frac{1}{2\pi }(2-\frac{\pi }{6})\Leftrightarrow k=0,\,k\in \mathbb{Z}$ .

Khi đó ta nhận được ${{x}_{3}}=\frac{\pi }{6}$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }\frac{1\pm \sqrt{5}}{2};\frac{\pi }{6}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ .

f) ${{(x-3)}^{3{{x}^{2}}-5x+2}}={{({{x}^{2}}-6x+9)}^{{{x}^{2}}+x-4}}\Leftrightarrow {{(x-3)}^{3{{x}^{2}}-5x+2}}={{(x-3)}^{2({{x}^{2}}+x-4)}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x-3=1\\\left\{ \begin{array}{l}0<x-3\ne 1\\3{{x}^{2}}-5x+2=2{{x}^{2}}+2x-8\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=4\\\left\{ \begin{array}{l}3<x\ne 4\\{{x}^{2}}-7x+10=0\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=4\\x=5\end{array} \right.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x=4,x=5$ .

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $2{{\log }_{2}}(2x+2)+{{\log }_{\frac{1}{2}}}(9x-1)=1$ (1)

b) $\frac{3}{2}{{\log }_{\frac{1}{4}}}{{(x+2)}^{2}}-3={{\log }_{\frac{1}{4}}}{{(4-x)}^{3}}+{{\log }_{\frac{1}{4}}}{{(x+6)}^{3}}$ (2)

c) ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{3}}x+{{\log }_{4}}x={{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}x.{{\log }_{4}}x$ (3)

d) ${{\log }_{2}}({{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27)+2{{\log }_{2}}\frac{1}{{{4.2}^{x}}-3}=0$ (4)

e) ${{\log }_{2}}(8-{{x}^{2}})+{{\log }_{\frac{1}{2}}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})-2=0$ (5)

Lời giải:

a) $2{{\log }_{2}}(2x+2)+{{\log }_{\frac{1}{2}}}(9x-1)=1$ .

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}2x+2>0\\9x-1>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x>\frac{1}{9}\end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{1}{9}$ .

Khi đó $(1)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{(2x+2)}^{2}}-{{\log }_{2}}(9x-1)=1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{{{(2x+2)}^{2}}}{9x-1}={{\log }_{2}}2$

$\Leftrightarrow \frac{{{(2x+2)}^{2}}}{9x-1}=2\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-5x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\x=\frac{3}{2}\end{array} \right.$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=1,\,x=\frac{3}{2}$ .

b) $\frac{3}{2}{{\log }_{\frac{1}{4}}}{{(x+2)}^{2}}-3={{\log }_{\frac{1}{4}}}{{(4-x)}^{3}}+{{\log }_{\frac{1}{4}}}{{(x+6)}^{3}}$ .

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{{(x+2)}^{2}}>0\\{{(4-x)}^{3}}>0\\{{(x+6)}^{3}}>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x+2\ne 0\\4-x>0\\x+6>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ne -2\\x<4\\x>-6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ne -2\\-6<x<4\end{array} \right.$ .

Khi đó $(2)\Leftrightarrow -\frac{3}{2}{{\log }_{2}}|x+2|-\frac{3}{2}.2=-\frac{3}{2}{{\log }_{2}}(4-x)-\frac{3}{2}{{\log }_{2}}(x+6)$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}|x+2|+2={{\log }_{2}}(4-x)+{{\log }_{2}}(x+6)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(4|x+2|)={{\log }_{2}}\text{ }\!\![\!\!\text{ }(4-x)(x+6)\\\Leftrightarrow 4|x+2|=(4-x)(x+6)\,\,\,\,\,\,\,(*)\end{array}$

TH1: $-6<x<-2\Rightarrow x+2<0$ .

Khi đó $(*)\Leftrightarrow -4(x+2)=(4-x)(x+6)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-32=0\Leftrightarrow x=1-\sqrt{33}$ (thỏa mãn)

hoặc $x=1+\sqrt{33}$ (loại).

TH2: $-2<x<4\Rightarrow x+2>0$ .

Khi đó $(*)\Leftrightarrow 4(x+2)=(4-x)(x+6)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x-16=0\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn) hoặc

$x=-8$ (loại).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }2;\,1-\sqrt{33}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ .

c) ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{3}}x+{{\log }_{4}}x={{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}x.{{\log }_{4}}x$ .

Điều kiện: $x>0$ .

Khi đó $(3)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x+{{\log }_{3}}2.{{\log }_{2}}x+\frac{1}{2}.{{\log }_{2}}x={{\log }_{2}}x.{{\log }_{3}}2.{{\log }_{2}}x.\frac{1}{2}.{{\log }_{2}}x$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x(1+{{\log }_{3}}2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{{\log }_{3}}2.\log _{2}^{2}x)\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\log }_{2}}x=0\\\log _{2}^{2}x=\frac{\frac{3}{2}+{{\log }_{3}}2}{\frac{1}{2}{{\log }_{3}}2}={{\log }_{2}}108\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\log }_{2}}x=0\\{{\log }_{2}}x=\pm \sqrt{{{\log }_{2}}108}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\x=\frac{1}{{{2}^{\sqrt{{{\log }_{2}}108}}}}\\x={{2}^{\sqrt{{{\log }_{2}}108}}}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1;\frac{1}{{{2}^{\sqrt{{{\log }_{2}}108}}}};{{2}^{\sqrt{{{\log }_{2}}108}}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ .

d) ${{\log }_{2}}({{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27)+2{{\log }_{2}}\frac{1}{{{4.2}^{x}}-3}=0$ .

Điều kiện: ${{2}^{x}}>\frac{3}{4}$ .

$\displaystyle \begin{array}{l}(4)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27)+2{{\log }_{2}}{{({{4.2}^{x}}-3)}^{-1}}=0\\\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27)={{\log }_{2}}{{({{4.2}^{x}}-3)}^{2}}\\\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{15.2}^{x}}+27={{({{4.2}^{x}}-3)}^{2}}\Leftrightarrow {{5.4}^{x}}-{{13.2}^{x}}-6=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{2}^{x}}=-\frac{2}{5}<0\\{{2}^{x}}=3\end{array} \right.\Rightarrow {{2}^{x}}=3\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}3\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x={{\log }_{2}}3$ .

e) ${{\log }_{2}}(8-{{x}^{2}})+{{\log }_{\frac{1}{2}}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})-2=0$ .

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}8-{{x}^{2}}>0\\1+x>0\\1-x>0\end{array} \right.\Leftrightarrow -1<x<1$ .

$\begin{array}{l}(5)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(8-{{x}^{2}})-{{\log }_{2}}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})-{{\log }_{2}}4=0\\\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{8-{{x}^{2}}}{4(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}={{\log }_{2}}1\\\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \frac{8-{{x}^{2}}}{4(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=1\Leftrightarrow 4(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})=8-{{x}^{2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow 16(2+2\sqrt{1-{{x}^{2}}})={{(8-{{x}^{2}})}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,(6)\end{array}$

Đặt $t=\sqrt{1-{{x}^{2}}},\,t\ge 0\Rightarrow {{x}^{2}}=1-{{t}^{2}}$ . Khi đó phương trình (6) trở thành:

$16(2+2t)={{({{t}^{2}}+7)}^{2}}\Leftrightarrow {{t}^{4}}+14{{t}^{2}}-32t+17=0$ $\Leftrightarrow {{(t-1)}^{2}}({{t}^{2}}+2t+17)=0\Leftrightarrow t=1$ .

Với $t=1$ thì $\sqrt{1-{{x}^{2}}}=1\Leftrightarrow x=0$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm $x=0$ .

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình ${{\log }_{\sqrt{5}+2}}({{x}^{2}}+mx+m+1)+{{\log }_{\sqrt{5}-2}}x=0$ có nghiệm duy nhất.

Lời giải:

Phương trình tương đương

$\displaystyle {{\log }_{\sqrt{5}+2}}({{x}^{2}}+mx+m+1)={{\log }_{\sqrt{5}+2}}x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>0\\{{x}^{2}}+mx+m+1=x\,\,\,\,\,(*)\end{array} \right.$ (I)

Cách 1:

TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép dương

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta =0\\-\frac{b}{2a}>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{m}^{2}}-6m-3=0\\\frac{1-m}{2}>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m=3\pm 2\sqrt{3}\\m<1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow m=3-2\sqrt{3}$ .

TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

$\Leftrightarrow ac<0\Leftrightarrow m+1<0\Leftrightarrow m<-1$ .

TH3: Phương trình (*) có hai nghiệm trong đó có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(0)=0\\S>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m+1=0\\m<1\end{array} \right.\Leftrightarrow m=-1$ ( $f(x)={{x}^{2}}+(m-1)x+m+1=0$ ).

Vậy $\left[ \begin{array}{l}m=3-2\sqrt{3}\\m\le -1\end{array} \right.$ .

Cách 2: $(I)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>0\\m=\frac{-{{x}^{2}}+x-1}{x+1}\end{array} \right.$

Xét hàm số $f(x)=\frac{-{{x}^{2}}+x-1}{x+1}$ với $x>0$ .

Ta có $f'(x)=\frac{-{{x}^{2}}-2x+2}{{{(x+1)}^{2}}}$ .

Khi đó $f'(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-2=0\Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{3}$ .

Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{-{{x}^{2}}+x-1}{x+1}$ tại một điểm duy nhất $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m\le -1\\m=3-2\sqrt{3}\end{array} \right.$

Vậy $\left[ \begin{array}{l}m\le -1\\m=3-2\sqrt{3}\end{array} \right.$ .

Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài toán 1. Đặt một ẩn phụ

* Phương trình mũ:

* Phương trình logarit:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) ${{2}^{3x+1}}-{{7.2}^{2x}}+{{7.2}^{x}}-2=0$ .

b) ${{4}^{{{\log }_{2}}2x}}-{{x}^{{{\log }_{2}}6}}={{2.3}^{{{\log }_{2}}4{{x}^{2}}}}$ .

c) ${{64.9}^{x}}-{{84.12}^{x}}+{{27.16}^{x}}=0$ (1)

d) ${{3.8}^{x}}+{{4.12}^{x}}-{{18}^{x}}-{{2.27}^{x}}=0$ (2)

Lời giải:

a) ${{2}^{3x+1}}-{{7.2}^{2x}}+{{7.2}^{x}}-2=0\Leftrightarrow {{2.2}^{3x}}-{{7.2}^{2x}}+{{7.2}^{x}}-2=0$ .

Đặt $t={{2}^{x}},\,\,(t>0)$ . Khi đó phương trình trở thành:

$2{{t}^{3}}-7{{t}^{2}}+7t-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=1\\t=\frac{1}{2}\\t=2\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{2}^{x}}=1\\{{2}^{x}}=\frac{1}{2}\\{{2}^{x}}=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-1\\x=1\end{array} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0;-1;1\}$ .

b) ${{4}^{{{\log }_{2}}2x}}-{{x}^{{{\log }_{2}}6}}={{2.3}^{{{\log }_{2}}4{{x}^{2}}}}$

Điều kiện: $x>0$ .

Phương trình tương đương ${{4}^{1+{{\log }_{2}}x}}-{{x}^{{{\log }_{2}}6}}={{2.3}^{2+{{\log }_{2}}x}}\Leftrightarrow {{4.4}^{{{\log }_{2}}x}}-{{x}^{{{\log }_{2}}6}}={{18.9}^{{{\log }_{2}}x}}$ .

Đặt $t-{{\log }_{2}}x\,\,\Rightarrow x={{2}^{t}}$ . Khi đó phương trình trở thành:

${{4.4}^{t}}-{{2}^{t{{\log }_{2}}6}}={{18.9}^{t}}\Leftrightarrow {{4.4}^{t}}-{{6}^{t}}={{18.9}^{t}}\Leftrightarrow 4.{{(\frac{4}{9})}^{t}}-{{(\frac{2}{3})}^{t}}=18$ $\Leftrightarrow 4.{{(\frac{2}{3})}^{2t}}-{{(\frac{2}{3})}^{t}}-18=0$ .

Đặt $u={{(\frac{2}{3})}^{t}},\,\,(u>0)$ . Phương trình trở thành:

$4{{t}^{2}}-t-18=0\Leftrightarrow t=-2$ (loại) hoặc $t=\frac{9}{4}$ .

$\Rightarrow {{(\frac{2}{3})}^{t}}=\frac{9}{4}={{(\frac{2}{3})}^{-2}}\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow {{\log }_{2}}x=-2\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{4}$ .

c) Chia cả hai vế của (1) cho ${{9}^{x}}$ ta được:

$\begin{array}{l}(1)\Rightarrow 64-84.{{(\frac{12}{9})}^{x}}+27.{{(\frac{16}{9})}^{x}}=0\Leftrightarrow 27.{{(\frac{4}{3})}^{2x}}-84.{{(\frac{4}{3})}^{x}}+64=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{(\frac{4}{3})}^{x}}=\frac{4}{3}\\{{(\frac{4}{3})}^{x}}=\frac{16}{9}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\x=2\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=1$ và $x=2$ .

d) ${{3.8}^{x}}+{{4.12}^{x}}-{{18}^{x}}-{{2.27}^{x}}=0\Leftrightarrow 3+4.{{(\frac{12}{8})}^{x}}-{{(\frac{18}{8})}^{x}}-2.{{(\frac{27}{8})}^{x}}=0$

$\Leftrightarrow 2.{{(\frac{3}{2})}^{3x}}+{{(\frac{3}{2})}^{2x}}-4.{{(\frac{3}{2})}^{x}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{(\frac{3}{2})}^{x}}=\frac{3}{2}\\{{(\frac{3}{2})}^{x}}=-2<0\end{array} \right.\Rightarrow x=1$ .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$ .

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) ${{(\sqrt{2+\sqrt{3}})}^{x}}+{{(\sqrt{2-\sqrt{3}})}^{x}}=4$ .

b) ${{(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}})}^{x}}+{{(\sqrt[3]{3-\sqrt{8}})}^{x}}=6$ .

c) ${{(5-\sqrt{21})}^{x}}+7{{(5+\sqrt{21})}^{x}}={{2}^{x+3}}$ .

d) ${{(2+\sqrt{3})}^{{{(x-1)}^{2}}}}+{{(2-\sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x-1}}=\frac{4}{2-\sqrt{3}}$ .

Lời giải:

a) ${{(\sqrt{2+\sqrt{3}})}^{x}}+{{(\sqrt{2-\sqrt{3}})}^{x}}=4$ (1)

Vì $(\sqrt{2+\sqrt{3}})(\sqrt{2-\sqrt{3}})=1\Leftrightarrow {{(\sqrt{2+\sqrt{3}})}^{x}}.{{(\sqrt{2-\sqrt{3}})}^{x}}=1\Rightarrow {{(\sqrt{2-\sqrt{3}})}^{x}}=\frac{1}{{{(\sqrt{2+\sqrt{3}})}^{x}}}$ .

Đặt $t={{(\sqrt{2+\sqrt{3}})}^{x}},\,\,t>0\,\,\,\,\Rightarrow {{(\sqrt{2-\sqrt{3}})}^{x}}=\frac{1}{t}$ .

Khi đó (1) trở thành: $t+\frac{1}{t}-4=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=2+\sqrt{3}\\t=2-\sqrt{3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{(\sqrt{2+\sqrt{3}})}^{x}}=2+\sqrt{3}\\{{(\sqrt{2+\sqrt{3}})}^{x}}=2-\sqrt{3}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-2\end{array} \right.$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ và $x=-2$ .

b) ${{(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}})}^{x}}+{{(\sqrt[3]{3-\sqrt{8}})}^{x}}=6$ (2)

Do: $(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}})(\sqrt[3]{3-\sqrt{8}})=\sqrt[3]{(3+\sqrt{8})(3-\sqrt{8})}=1$

$\Leftrightarrow {{(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}})}^{x}}{{(\sqrt[3]{3-\sqrt{8}})}^{x}}=1$ .

$\Rightarrow {{(\sqrt[3]{3-\sqrt{8}})}^{x}}=\frac{1}{{{(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}})}^{x}}}$ .

Đặt $t={{(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}})}^{x}},\,\,\,(t>0)\,\,\,\,\Rightarrow {{(\sqrt[3]{3-\sqrt{8}})}^{x}}=\frac{1}{t}$ .

Khi đó (2) trở thành: $t+\frac{1}{t}-6=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-6t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=3+\sqrt{8}\\t=3-\sqrt{8}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}})}^{x}}=3+\sqrt{8}\\{{(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}})}^{x}}=3-\sqrt{8}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-3\end{array} \right.$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=3$ và $x=-3$ .

c) ${{(5-\sqrt{21})}^{x}}+7{{(5+\sqrt{21})}^{x}}={{2}^{x+3}}\Leftrightarrow {{(\frac{5-\sqrt{21}}{2})}^{x}}+7.{{(\frac{5+\sqrt{21}}{2})}^{x}}=8$ (3)

Ta có ${{(\frac{5-\sqrt{21}}{2})}^{x}}{{(\frac{5+\sqrt{21}}{2})}^{x}}={{(\frac{5-\sqrt{21}}{2}.\frac{5+\sqrt{21}}{2})}^{x}}=1\Rightarrow {{(\frac{5-\sqrt{21}}{2})}^{x}}=\frac{1}{{{(\frac{5+\sqrt{21}}{2})}^{x}}}$ .

Đặt $t={{(\frac{5-\sqrt{21}}{2})}^{x}},\,\,t>0\,\,\,\Rightarrow {{(\frac{5-\sqrt{21}}{2})}^{x}}=\frac{1}{t}$ .

Khi đó (3) trở thành: $\frac{1}{t}+7t-8=0\Leftrightarrow 7{{t}^{2}}-8t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=1\\t=\frac{1}{7}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{(\frac{5+\sqrt{21}}{2})}^{x}}=1\\{{(\frac{5+\sqrt{21}}{2})}^{x}}=\frac{1}{7}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x={{\log }_{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}}(\frac{1}{7})\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=0$ và $x={{\log }_{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}}(\frac{1}{7})$ .

d) ${{(2+\sqrt{3})}^{{{(x-1)}^{2}}}}+{{(2-\sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x-1}}=\frac{4}{2-\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow (2-\sqrt{3}){{(2+\sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x+1}}+(2-\sqrt{3}){{(2-\sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x-1}}=4$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}){{(2+\sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}+{{(2-\sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}=4\\\Leftrightarrow {{(2+\sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}+{{(2-\sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}=4\end{array}$

Đặt $t={{(2+\sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}},\,\,t>0\,\,\Rightarrow {{(2-\sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}=\frac{1}{t}$ .

Khi đó (4) trở thành: $t+\frac{1}{t}-4=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=2+\sqrt{3}\\t=2-\sqrt{3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{(2+\sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}=2+\sqrt{3}\\{{(2+\sqrt{3})}^{{{x}^{2}}-2x}}=2-\sqrt{3}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-2x=1\\{{x}^{2}}-2x=-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\pm \sqrt{2}\\x=1\end{array} \right.$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=1,\,x=2\pm \sqrt{2}$ .

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) ${{\log }_{x+1}}16=3+{{\log }_{2}}(x+1)$ .

b) $\log _{\sqrt{2}}^{2}x+3{{\log }_{2}}x+{{\log }_{\frac{1}{2}}}x=2$ .

c) ${{\log }_{3}}({{3}^{x}}+1).{{\log }_{3}}({{3}^{x+2}}+9)=3$ .

Lời giải:

a) ${{\log }_{x+1}}16=3+{{\log }_{2}}(x+1)$ (1)

Điều kiện $0<x+1\ne 1\Leftrightarrow -1<x\ne 0$ .

Khi đó $(1)\Leftrightarrow 4{{\log }_{x+1}}2=3+{{\log }_{2}}(x+1)\Leftrightarrow \frac{4}{{{\log }_{2}}(x+1)}=3+{{\log }_{2}}(x+1)$ .

Đặt $t={{\log }_{2}}(x+1)$ , phương trình trở thành: $\frac{4}{t}=3+t\Leftrightarrow {{t}^{2}}+3t-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=1\\t=-4\end{array} \right.$ .

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\log }_{2}}(x+1)=1\\{{\log }_{2}}(x+1)=-4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x+1=2\\x+1=\frac{1}{16}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-\frac{15}{16}\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm $x=1,\,x=-\frac{15}{16}$ .

Chú ý: Phương trình sau khi biến đổi có dạng bậc hai đơn giản thì có thể bỏ qua bước đặt ẩn phụ.

b) $\log _{\sqrt{2}}^{2}x+3{{\log }_{2}}x+{{\log }_{\frac{1}{2}}}x=2$ (2)

Điều kiện $x>0$ .

$\begin{array}{l}(2)\Leftrightarrow 4\log _{2}^{2}x+3{{\log }_{2}}x-{{\log }_{2}}x=2\Leftrightarrow 2\log _{2}^{2}x+{{\log }_{2}}x-1=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\log }_{2}}x=-1\\{{\log }_{2}}x=\frac{1}{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\x=\sqrt{2}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }\frac{1}{2};\sqrt{2}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ .

c) ${{\log }_{3}}({{3}^{x}}+1).{{\log }_{3}}({{3}^{x+2}}+9)=3$ .

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}({{3}^{x}}+1).{{\log }_{3}}\left[ 9({{3}^{x}}+1) \right]=3\Leftrightarrow {{\log }_{3}}({{3}^{x}}+1)\left[ 2+{{\log }_{3}}({{3}^{x}}+1) \right]=3$ .

Đặt $t={{\log }_{3}}({{3}^{x}}+1)$ , phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}t(2+t)=3\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=1\\t=-3\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\log }_{3}}({{3}^{x}}+1)=1\\{{\log }_{3}}({{3}^{x}}+1)=-3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{3}^{x}}+1=3\\{{3}^{x}}+1=\frac{1}{27}\end{array} \right.\Leftrightarrow {{3}^{x}}=2\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}2\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x={{\log }_{3}}2$ .

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1).{{\log }_{4}}({{2.5}^{x}}-2)=m$ có nghiệm $x\ge 1$ .

A. $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }2;+\infty )$ .

B. $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }3;+\infty )$ .

C. $m\in (-\infty ;2]$ .

D. $m\in (-\infty ;3]$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l}{{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1).{{\log }_{4}}({{2.5}^{x}}-2)=m\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1).{{\log }_{{{2}^{2}}}}\text{ }\!\![\!\!\text{ }2({{5}^{x}}-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\\\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1)\text{ }\!\![\!\!\text{ }\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }=m\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1)\text{ }\!\![\!\!\text{ }1+{{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }=2m\,\,\,(1)\end{array}$

Đặt $t={{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1)$ . Với $x\ge 1\Rightarrow {{5}^{x}}\ge 5\Rightarrow {{\log }_{2}}({{5}^{x}}-1)\ge {{\log }_{2}}(5-1)=2$ hay $t\ge 2$ .

Khi đó (1) trở thành: $t(1+t)=2m\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t=2m$ (2)

Yêu cầu bài $\Leftrightarrow (2)$ có nghiệm $t\ge 2$ .

Xét hàm số $f(t)={{t}^{2}}+t,\,\,t\ge 2$ .

Ta có $f'(t)=2t+1>0,\,\,\forall t\ge 2\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }2;+\infty )$ .

Khi đó phương trình (2) có nghiệm $\Leftrightarrow 2m\ge \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;+\infty )}{\mathop{\min }}\,f(t)=f(2)=6\Rightarrow m\ge 3$ .

Vậy $m\ge 3$ là các giá trị cần tìm.

Chọn B.

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để:

a) ${{4}^{x}}-m{{.2}^{x+1}}+2m=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn điều kiện ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$ .

b) ${{16}^{x}}-m{{.8}^{x}}+(2m-1){{.4}^{x}}=m{{.2}^{x}}$ có ba nghiệm phân biệt.

c) ${{25}^{x}}+(m-1){{.5}^{x}}+m-2{{m}^{2}}=0$ có hai nghiệm trái dấu.

d) ${{9}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-(m+2){{.3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ có nghiệm.

Lời giải:

a) ${{4}^{x}}-m{{.2}^{x+1}}+2m=0$ (1)

Đặt $t={{2}^{x}},\,\,\,(t>0)$ . Khi đó phương trình (1) trở thành: ${{t}^{2}}-2mt+2m=0$ (*)

Để (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì (*) phải có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ dương

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta '\ge 0\\S>0\\P>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{m}^{2}}-2m\ge 0\\2m>0\\2m>0\end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 2$ .

Khi đó ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow {{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{2}^{3}}\Leftrightarrow {{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{2}^{3}}\Leftrightarrow {{t}_{1}}.{{t}_{2}}=8\Leftrightarrow 2m=8\Leftrightarrow m=4$ (thỏa mãn).

Vậy $m=4$ là giá trị cần tìm.

b) ${{16}^{x}}-m{{.8}^{x}}+(2m-1){{.4}^{x}}=m{{.2}^{x}}$ (2)

Đặt $t={{2}^{x}},\,\,(t>0)$ . Khi đó phương trình (2) trở thành:

${{t}^{4}}-m{{t}^{3}}+(2m-1){{t}^{2}}=mt\Leftrightarrow {{t}^{3}}-m{{t}^{2}}+(2m-1)t=m$ (vì $t>0$ )

$\Leftrightarrow {{t}^{3}}-m{{t}^{2}}+(2m-1)t-m=0\Leftrightarrow (t-1)\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{t}^{2}}+(1-m)t+m\text{ }\!\!]\!\!\text{ }=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=1\\f(t)={{t}^{2}}+(1-m)t+m=0\,\,\,(**)\end{array} \right.$

Với $t=1\Rightarrow x=0$ .

Để phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (**) phải có hai nghiệm phân biệt dương

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta '>0\\S>0\\P>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{m}^{2}}-6m+1>0\\m-1>0\\m>0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m>3+2\sqrt{2}\\m<3-2\sqrt{2}\end{array} \right.\\m>1\end{array} \right.\Leftrightarrow m>3+2\sqrt{2}$ .

Vậy $m>3+2\sqrt{2}$ .

c) ${{25}^{x}}+(m-1){{.5}^{x}}+m-2{{m}^{2}}=0$ (3)

Đặt $t={{5}^{x}},\,\,(t>0)$ . Khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}+(m-1)t+m-2{{m}^{2}}=0$ (*)

Cách 1:
$(*)\Leftrightarrow (t-m)(t+2m-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t=m\\t=1-2m\end{array} \right.$

Với $x>0\Rightarrow {{5}^{x}}>{{5}^{0}}$ hay $t>1$ . Tương tự $x<0\Rightarrow 0<t<1$ .

Phương trình (3) có hai nghiệm trái dấu $\left[ \begin{array}{l}0<m<1<1-2m\\0<1-2m<1<m\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0<m<1\\m<0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0<m<\frac{1}{2}\\m>1\end{array} \right.\end{array} \right.$ (vô nghiệm).

Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài.

Cách 2: Với $x>0\Rightarrow {{5}^{x}}>{{5}^{0}}$ hay $t>1$ . Tương tự $x<0\Rightarrow 0<t<1$ .

Phương trình (3) có hai nghiệm trái dấu ⇔ (*) có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$ .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\S>0\\P>0\\({{t}_{1}}-1)({{t}_{2}}-1)<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{(3m-1)}^{2}}>0\\1-m>0\\m-2{{m}^{2}}>0\\2m-2{{m}^{2}}<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\ne \frac{1}{3}\\m<1\\0<m<2\\\left[ \begin{array}{l}m<0\\m>1\end{array} \right.\end{array} \right.$ (vô nghiệm).

Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài.

d) ${{9}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-(m+2){{.3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ (4)

Điều kiện: $-1\le x\le 1$ . Đặt $t=f(x)={{3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}$ . Ta sẽ đi tìm điều kiện của $t$ bằng 2 cách:

Cách 1: Ta có $0\le \sqrt{1-{{x}^{2}}}\le 1\Rightarrow 1\le 1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\le 2\Rightarrow {{3}^{1}}\le {{3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\le {{3}^{2}}$ hay $3\le t\le 9$ .

Cách 2: (Dùng phương pháp hàm số)

Ta có $f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{{.3}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}.\ln 3$ . Khi đó $f'(x)=0\Leftrightarrow x=0$ .

Bảng biến thiên:

Vậy $3\le t\le 9$ .

Khi đó yêu cầu bài toán tương đương:

Tìm m để phương trình ${{t}^{2}}-(m+2)t+2m+1=0$ (*) có nghiệm với $t\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }3;9]$ .

$(*)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+1=m(t-2)\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}=g(t)$ (vì $t\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }3;9]$ )

Xét hàm số $g(t)=\frac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}$ với $t\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }3;9]$ .

Ta có $g'(t)=\frac{{{t}^{2}}-4t+3}{{{(t-2)}^{2}}}=\frac{(t-1)(t-3)}{{{(t-2)}^{2}}}\ge 0$ , $\forall t\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }3;9]$

Suy ra hàm số $g(t)$ đồng biến trên đoạn $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }3;9]$ $\Rightarrow g(3)\le g(t)\le g(9)\Leftrightarrow 4\le g(t)\le 16$ .

Vậy $4\le m\le 16$ .

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình

$\sqrt{\log _{2}^{2}x+{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{x}^{2}}-3}=m({{\log }_{4}}{{x}^{2}}-3)$ có nghiệm thuộc $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }32;+\infty )$ .

A. $m\in (1;\sqrt{3}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ .

B. $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;\sqrt{3})$ .

C. $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;\sqrt{3})$ .

D. $m\in (-\sqrt{3};1]$ .

Lời giải:

Điều kiện: $x>0$ .

Phương trình tương đương: $\sqrt{\log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x-3}=m({{\log }_{2}}x-3)$ .

Đặt $t={{\log }_{2}}x$ , với $x\ge 32\Rightarrow {{\log }_{2}}x\ge {{\log }_{2}}32=5$ hay $t\ge 5$ .

Phương trình có dạng $\sqrt{{{t}^{2}}-2t-3}=m(t-3)$ (*).

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có nghiệm $t\ge 5$ .

Với $t\ge 5$ thì $(*)\Leftrightarrow \sqrt{(t-3)(t+1)}=m(t-3)\Leftrightarrow \sqrt{t-3}(\sqrt{t+1}-m\sqrt{t-3})=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{t+1}-m\sqrt{t-3}=0\Leftrightarrow m=\sqrt{\frac{t+1}{t-3}}$ .

Ta có $\frac{t+1}{t-3}=1+\frac{4}{t-3}$ . Với $t\ge 5\Rightarrow 1<1+\frac{4}{t-3}\le 1+\frac{4}{5-3}=3$ hay

$1<\frac{t+1}{t-3}\le 3\Rightarrow 1<\sqrt{\frac{t+1}{t-3}}\le \sqrt{3}$ suy ra $1<m\le \sqrt{3}$ .

Vậy phương trình có nghiệm với $1<m\le \sqrt{3}$ .

Chọn A.

Bài toán 2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.

Khi đó thường ta được 1 phương trình bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số $\Delta$ là một số chính phương.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $\log _{2}^{2}x+(x-1){{\log }_{2}}x=6-2x$ .

b) ${{9}^{{{x}^{2}}}}+({{x}^{2}}-3){{3}^{{{x}^{2}}}}-2{{x}^{2}}+2=0$ .

c) ${{3}^{2x}}-({{2}^{x}}+9){{.3}^{x}}+{{9.2}^{x}}=0$ .

Lời giải:

a) $\log _{2}^{2}x+(x-1){{\log }_{2}}x=6-2x$ .

Điều kiện: $x>0$ .

Đặt $t={{\log }_{2}}x$ . Khi đó phương trình có dạng ${{t}^{2}}+(x-1)t+2x-6=0$ .

${{\Delta }_{t}}={{(x-1)}^{2}}-4(2x-6)={{x}^{2}}-10x+25={{(x-5)}^{2}}$

Giải $(1):\,\,\,x={{2}^{-2}}=\frac{1}{4}$ .

Giải (2): $(2)\Leftrightarrow x+{{\log }_{2}}x-3=0$ (*)

Xét hàm số $f(x)=x+{{\log }_{2}}x-3$ với $x>0$ . Ta có $f'(x)=1+\frac{1}{x\ln 2}>0,\forall x>0$ .

Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$ .

Khi đó $(*)\Leftrightarrow f(x)=f(2)\Leftrightarrow x=2$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{4}$ và $x=2$ .

b) ${{9}^{{{x}^{2}}}}+({{x}^{2}}-3){{3}^{{{x}^{2}}}}-2{{x}^{2}}+2=0$ .

Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}}},\,(t\ge 1)$ , phương trình trở thành: ${{t}^{2}}+({{x}^{2}}-3)t-2{{x}^{2}}+2=0$ .

$\Delta ={{({{x}^{2}}-3)}^{2}}-4(-2{{x}^{2}}+2)={{({{x}^{2}}+1)}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t=2\\t=1-{{x}^{2}}\end{array} \right.$

Với $t=2\Rightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{\log }_{3}}2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{{{\log }_{3}}2}$ .

Với $t=1-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}=1-{{x}^{2}}$ :

Ta thấy $\left\{ \begin{array}{l}VT\ge 1\\VP\le 1\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}VT=1\\VP=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{3}^{{{x}^{2}}}}=1\\1-{{x}^{2}}=1\end{array} \right.\Leftrightarrow x=0$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=0,\,\,x=\pm \sqrt{{{\log }_{3}}2}$ .

c) ${{3}^{2x}}-({{2}^{x}}+9){{.3}^{x}}+{{9.2}^{x}}=0$ .

Đặt $t={{3}^{x}},\,\,(t>0)$ . Khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-({{2}^{x}}+9)t+{{9.2}^{x}}=0$ .

$\begin{array}{l}\Delta ={{({{2}^{x}}+9)}^{2}}-{{4.9.2}^{x}}={{({{2}^{x}}+9)}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t=9\\t={{2}^{x}}\end{array} \right.\\\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{3}^{x}}=9\\{{3}^{x}}={{2}^{x}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\{{(\frac{3}{2})}^{x}}=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\x=0\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=0\end{array} \right.$ .

Bài toán 3. Đặt hai ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Bằng việc sử dụng hai ẩn phụ (giả sử là $u,v$ ) ta có thể đưa việc giải phương trình về việc xét một hệ, trong đó:

Phương trình thứ nhất có được từ phương trình đầu bài.

Phương trình thứ hai có được từ việc đánh giá mối quan hệ của $u,v$ .

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{8}{{{2}^{x-1}}+1}+\frac{{{2}^{x}}}{{{2}^{x}}+2}=\frac{18}{{{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2}$ .

b) ${{2}^{2x}}-\sqrt{{{2}^{x}}+6}=6$ .

c) ${{\log }_{2}}(x-\sqrt{{{x}^{2}}-1})+3{{\log }_{2}}(x+\sqrt{{{x}^{2}}-1})=2$ .

Lời giải:

a) $\frac{8}{{{2}^{x-1}}+1}+\frac{{{2}^{x}}}{{{2}^{x}}+2}=\frac{18}{{{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2}=\frac{8}{{{2}^{x-1}}+1}+\frac{1}{{{2}^{1-x}}+1}=\frac{18}{{{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u={{2}^{x-1}}+1\\v={{2}^{1-x}}+1\end{array} \right.\,(u,v>1)$

Ta có $u.v=({{2}^{x-1}}+1)({{2}^{1-x}}+1)={{2}^{x-1}}+{{2}^{1-x}}+2=u+v$ .

Phương trình tương đương với hệ $\left\{ \begin{array}{l}\frac{8}{u}+\frac{1}{v}=\frac{18}{u+v}\\u+v=uv\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u+8v=18\\u+v=uv\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u=v=2\\u=9;v=\frac{9}{8}\end{array} \right.$

+ Với $u=v=2$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}{{2}^{x-1}}+1=2\\{{2}^{1-x}}+1=2\end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$ .

+ Với $u=9;v=\frac{9}{8}$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}{{2}^{x-1}}+1=9\\{{2}^{1-x}}+1=\frac{9}{8}\end{array} \right.\Leftrightarrow x=4$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ và $x=4$ .

b) ${{2}^{2x}}-\sqrt{{{2}^{x}}+6}=6$ .

Đặt $u={{2}^{x}},\,\,u>0$ .

Khi đó phương trình trở thành ${{u}^{2}}-\sqrt{u+6}=6$ .

Đặt $v=\sqrt{u+6},\,\,(v\ge \sqrt{6})\,\,\Rightarrow {{v}^{2}}=u+6$ .

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}{{u}^{2}}=v+6\\{{v}^{2}}=u+6\end{array} \right.\Leftrightarrow {{u}^{2}}-{{v}^{2}}=-(u-v)\Leftrightarrow (u-v)(u+v)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u-v=0\\u+v+1=0\end{array} \right.$

Với $u=v$ ta được ${{u}^{2}}-u-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u=3\\u=-2\,\,(L)\end{array} \right.\Rightarrow {{2}^{x}}=3\Leftrightarrow x=8$ .

Với $u+v+1=0$ ta được

${{u}^{2}}+u-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\\u=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\,\,(L)\end{array} \right.\Rightarrow {{2}^{x}}=\frac{\sqrt{21}-1}{2}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\frac{\sqrt{21}-1}{2}$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x={{\log }_{2}}\frac{\sqrt{21}-1}{2}$ và $x=8$ .

Nhận xét: Ở ví dụ này, phương trình có dạng tổng quát là ${{f}^{n}}(x)+b=a\sqrt[n]{a.f(x)-b}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=f(x)\\v=\sqrt[n]{a.f(x)-b}\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{u}^{n}}+b=av\\{{v}^{n}}+b=au\end{array} \right.$ (Hệ phương trình đối xứng loại II).

c) ${{\log }_{2}}(x-\sqrt{{{x}^{2}}-1})+3{{\log }_{2}}(x+\sqrt{{{x}^{2}}-1})=2$ .

Điều kiện: $-x<\sqrt{{{x}^{2}}-1}<x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>0\\{{x}^{2}}-1\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow x\ge 1$ .

Ta có: ${{\log }_{2}}(x-\sqrt{{{x}^{2}}-1})+{{\log }_{2}}(x+\sqrt{{{x}^{2}}-1})={{\log }_{2}}\left[ (x-\sqrt{{{x}^{2}}-1})(x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}) \right]={{\log }_{2}}1=0$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u={{\log }_{2}}(x-\sqrt{{{x}^{2}}-1})\\v={{\log }_{2}}(x+\sqrt{{{x}^{2}}-1})\end{array} \right.$ .

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}u+3v=2\\u+v=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u=-1\\v=1\end{array} \right.\,\,\,\,(*)$

Cách 1:

$\begin{array}{l}(*)\Rightarrow {{\log }_{2}}(x+\sqrt{{{x}^{2}}-1})=1\Leftrightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=2\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-1}=2-x\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2-x\ge 0\\{{x}^{2}}-1={{(2-x)}^{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\le 2\\4x-5=0\end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\end{array}$

Cách 2:

$(*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\log }_{2}}(x-\sqrt{{{x}^{2}}-1})=-1\\{{\log }_{2}}(x+\sqrt{{{x}^{2}}-1})=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{2}\\x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=2\end{array} \right.$ $\Rightarrow 2x=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{5}{4}$ .

Dạng 3. Phương pháp đưa về phương trình tích

A. Phương pháp

Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình tích $A.B=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A=0\\B=0\end{array} \right.$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) ${{4}^{2x+\sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}}}={{4}^{2+\sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}+4x-4}}$ .

b) $x.\log _{2}^{2}x-2(x+1).{{\log }_{2}}x+4=0$ .

c) ${{4}^{x}}{{\log }_{2}}x+2={{\log }_{2}}x+{{2}^{2x+1}}$ .

Lời giải:

a) ${{4}^{2x+\sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}}}={{4}^{2+\sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}+4x-4}}$ (1)

Điều kiện: $x\ge -2$ .

$\begin{array}{l}(1)\Leftrightarrow {{2}^{4x+2\sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}}}={{2}^{4+2\sqrt{x+2}}}+{{2}^{{{x}^{3}}+4x-4}}\Leftrightarrow {{2}^{2\sqrt{x+2}}}({{2}^{4x}}-{{2}^{4}})-{{2}^{{{x}^{3}}-4}}({{2}^{4x}}-{{2}^{4}})=0\\\Leftrightarrow ({{2}^{4x}}-{{2}^{4}})({{2}^{2\sqrt{x+2}}}-{{2}^{{{x}^{3}}-4}})=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{2}^{4x}}-{{2}^{4}}=0\\{{2}^{2\sqrt{x+2}}}-{{2}^{{{x}^{3}}-4}}=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x=4\\2\sqrt{x+2}={{x}^{3}}-4\end{array} \right.\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\2\sqrt{x+2}={{x}^{3}}-4\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Giải (2): Từ (2) $\Rightarrow {{x}^{3}}-4\ge 0\Leftrightarrow x\ge \sqrt[3]{4}$ .

Cách 1:
$(2)\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}-4={{x}^{3}}-8\Leftrightarrow \frac{2(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{\sqrt{x+2}+2}={{x}^{3}}-8$

$\Leftrightarrow \frac{2(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}=(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\\frac{2}{\sqrt{x+2}+2}={{x}^{2}}+2x+4\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.$

Với $x\ge \sqrt[3]{4}>0\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{x+2}+2}<1\\{{x}^{2}}+2x+4>4\end{array} \right.\Rightarrow (3)$ vô nghiệm.

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1;2\}$ .

Cách 2:
$(2)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2\sqrt{x+2}-4=0\,\,\,\,(4)$ .

Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}-2\sqrt{x+2}-8$ với $x\ge \sqrt[3]{4}$

Ta có $f'(x)=3{{x}^{2}}-\frac{2}{\sqrt{x+2}}>0,\,\forall x\ge \sqrt[3]{4}$ $\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $\displaystyle \text{ }\!\![\!\!\text{ }\sqrt[3]{4};+\infty )$ .

Khi đó $(3)\Leftrightarrow f(x)=f(2)\Leftrightarrow x=2$ .

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }1;2\}$ .

b) $x.\log _{2}^{2}x-2(x+1).{{\log }_{2}}x+4=0$ (1).

Điều kiện: $x>0$ .

Cách 1:
$(1)\Leftrightarrow x.\log _{2}^{2}x-2x{{\log }_{2}}x-2{{\log }_{2}}x+4=0$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow x{{\log }_{2}}x.({{\log }_{2}}x-2)-2({{\log }_{2}}x-2)=0\\\Leftrightarrow ({{\log }_{2}}x-2)(x{{\log }_{2}}x-2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\log }_{2}}x=2\,\,\,\,(2)\\{{\log }_{2}}x=\frac{2}{x}\,\,\,\,(3)\end{array} \right.\,\,\,\,\end{array}$

+ Giải (1): $(1)\Leftrightarrow x={{2}^{2}}=4$ .

+ Giải (2): $(2)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x-\frac{2}{x}=0\,\,\,\,(*)$

Xét hàm số $f(x)={{\log }_{2}}x-\frac{2}{x}$ với $x>0$ .

Ta có $f'(x)=\frac{1}{x\ln 2}+\frac{2}{{{x}^{2}}}>0,\,\forall x>0$ .

Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ .

Khi đó $(*)\Leftrightarrow f(x)=f(2)\Leftrightarrow x=2$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ và $x=4$ .

Cách 2: Đặt $t={{\log }_{2}}x$ . Khi đó phương trình trở thành: $x{{t}^{2}}-2(x+1)t+4=0$ .

$\Delta _{t}^{'}={{(x+1)}^{2}}-4x={{x}^{2}}-2x+1={{(x-1)}^{2}}$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t=\frac{x+1+x-1}{x}=2\\t=\frac{x+1-x+1}{x}=\frac{2}{x}\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\log }_{2}}x=2\\{{\log }_{2}}x=\frac{2}{x}\end{array} \right.$ tiếp tục giải như cách 1.

c) ${{4}^{x}}{{\log }_{2}}x+2={{\log }_{2}}x+{{2}^{2x+1}}$ .

Điều kiện: $x>0$ .

Phương trình tương đương ${{4}^{x}}{{\log }_{2}}x-{{2.4}^{x}}+2-{{\log }_{2}}x=0$

$\Leftrightarrow {{4}^{x}}({{\log }_{2}}x-2)-({{\log }_{2}}x-2)=0\Leftrightarrow ({{\log }_{2}}x-2)({{4}^{x}}-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\log }_{2}}x=2\\{{4}^{x}}=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\x=0\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện được nghiệm của phương trình là $x=2$ .

Dạng 4. Phương pháp mũ hóa và logarit hóa

A. Phương pháp

* Phương pháp mũ hóa: ${{\log }_{a}}f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)={{a}^{g(x)}}$ .

Phương trình dạng ${{\log }_{a}}f(x)={{\log }_{b}}g(x)\,\,\,\,(a\ne b)$

Đặt ${{\log }_{a}}f(x)={{\log }_{b}}g(x)=t\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x)={{a}^{t}}\\g(x)={{b}^{t}}\end{array} \right.$

* Phương pháp logarit hóa:

Biến đổi phương trình về dạng: ${{a}^{\alpha }}={{b}^{\beta }}$ (1).

Lấy logarit (1) theo cơ số a hoặc b hai vế $\Leftrightarrow {{\log }_{a}}{{a}^{\alpha }}={{\log }_{a}}{{b}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha =\beta {{\log }_{a}}b$

Nếu phương trình chứa ${{\log }_{c}}x$ thì lấy cơ số c hai vế.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) ${{5}^{{{x}^{2}}-4}}={{4.2}^{x}}$ .

b) ${{x}^{4+{{\log }_{2}}x}}=32$ .

c) $9.{{x}^{{{\log }_{9}}x}}={{x}^{2}}$ .

d) ${{5}^{x}}+{{5}^{x+1}}+{{5}^{x+2}}={{3}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}+1}}+{{3}^{{{x}^{2}}+3}}$ .

e) ${{\log }_{\sqrt{2}}}x=1+{{\log }_{3}}x$ .

Lời giải:

a) ${{5}^{{{x}^{2}}-4}}={{4.2}^{x}}\Leftrightarrow {{\log }_{5}}{{5}^{{{x}^{2}}-4}}={{\log }_{5}}({{4.2}^{x}})\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=(2+x){{\log }_{5}}2$

$\Leftrightarrow (x+2)(x-2-{{\log }_{5}}2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-2\\x=2+{{\log }_{5}}2\end{array} \right.$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=-2$ và $x=2+{{\log }_{5}}2$ .

b) ${{x}^{4+{{\log }_{2}}x}}=32$ . Điều kiện: $x>0$ .

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình ta được:

${{\log }_{2}}{{x}^{4+{{\log }_{2}}x}}={{\log }_{2}}32\Leftrightarrow (4+{{\log }_{2}}x).{{\log }_{2}}x=5$

$\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x+4{{\log }_{2}}x-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\log }_{2}}x=1\\{{\log }_{2}}x=-5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=2\\x={{2}^{-5}}=\frac{1}{32}\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=2$ và $x=\frac{1}{32}$ .

c) $9.{{x}^{{{\log }_{9}}x}}={{x}^{2}}$ . Điều kiện: $x>0$ .

Lấy logarit cơ số 9 hai vế của phương trình ta được:

${{\log }_{9}}(9.{{x}^{{{\log }_{9}}x}})={{\log }_{9}}{{x}^{2}}\Leftrightarrow 1+\log _{9}^{2}x=2{{\log }_{9}}x$

$\Leftrightarrow \log _{9}^{2}x-2{{\log }_{9}}x+1=0\Leftrightarrow {{({{\log }_{9}}x-1)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\log }_{9}}x=1\Leftrightarrow x=9$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm $x=9$ .

d) ${{5}^{x}}+{{5}^{x+1}}+{{5}^{x+2}}={{3}^{{{x}^{2}}}}+{{3}^{{{x}^{2}}+1}}+{{3}^{{{x}^{2}}+3}}$ $\Leftrightarrow {{5}^{x}}(1+5+25)={{3}^{{{x}^{2}}}}(1+3+27)\Leftrightarrow {{5}^{x}}={{3}^{{{x}^{2}}}}$

$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}{{5}^{x}}={{\log }_{5}}{{3}^{{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow x={{x}^{2}}{{\log }_{5}}3\Leftrightarrow x(x{{\log }_{5}}3-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x={{\log }_{3}}5\end{array} \right.$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=0$ và $x={{\log }_{3}}5$ .

e) ${{\log }_{\sqrt{2}}}x=1+{{\log }_{3}}x$ (1)

Điều kiện: $x>0$ .

$(1)\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x={{\log }_{3}}3+{{\log }_{3}}x\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{x}^{2}}={{\log }_{3}}(3x)=t$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}={{2}^{t}}\\3x={{3}^{t}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}={{2}^{t}}\\x=\frac{{{3}^{t}}}{3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow {{(\frac{{{3}^{t}}}{3})}^{2}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow \frac{{{9}^{t}}}{9}={{2}^{t}}\Leftrightarrow {{(\frac{9}{2})}^{t}}=9\Leftrightarrow t={{\log }_{\frac{9}{2}}}9\Rightarrow x={{3}^{t-1}}={{3}^{{{\log }_{\frac{9}{2}}}2}}$

Vậy phương trình có nghiệm $x={{3}^{{{\log }_{\frac{9}{2}}}2}}$ .

Dạng 5. Phương pháp hàm số

A. Phương pháp

Giả sử $y=f(x)$ là hàm liên tục trên miền $D$ .

- Nếu hàm số $y=f(x)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên $D$ thì:

Phương trình $f(x)=k$ có không quá một nghiệm trên $D$ .

$f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v,\,\,\forall u,v\in D$ .

- Nếu hàm số $y=f(x)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến), còn hàm số $y=g(x)$ luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) với $x\in D$ thì phương trình $f(x)=g(x)$ với $x\in D$ có nhiều nhất một nghiệm.

- Nếu hàm số $y=f(x)$ có $f'(x)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) với $x\in D$ (tức là $f''(x)>0$ hoặc $f''(x)<0$ với $x\in D$ ) thì phương trình $f(x)=k$ có nhiều nhất là hai nghiệm.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) ${{(\frac{3}{5})}^{x}}+\frac{7}{5}={{2}^{x}}$ .

b) ${{\log }_{7}}x={{\log }_{3}}(\sqrt{x}+2)$ .

c) ${{3}^{x}}+{{12}^{x}}={{13}^{x}}$ .

d) ${{2}^{x+1}}-{{4}^{x}}=x-1$ .

Lời giải:

a) ${{(\frac{3}{5})}^{x}}+\frac{7}{5}={{2}^{x}}\Leftrightarrow {{(\frac{3}{5})}^{x}}-{{2}^{x}}+\frac{7}{5}=0\,\,\,\,(1)$

Xét hàm số $f(x)={{(\frac{3}{5})}^{x}}-{{2}^{x}}+\frac{7}{5},\,\,(x\in \mathbb{R})$ .

Ta có $f'(x)={{(\frac{3}{5})}^{x}}\ln \frac{3}{5}-{{2}^{x}}\ln 2<0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Khi đó $(1)\Leftrightarrow f(x)=f(1)\Leftrightarrow x=1$ . Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ .

b) ${{\log }_{7}}x={{\log }_{3}}(\sqrt{x}+2)$ .

Điều kiện: $x>0$ .

Đặt ${{\log }_{7}}x={{\log }_{3}}(\sqrt{x}+2)=t\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x={{7}^{t}}\\\sqrt{x}+2={{3}^{t}}\end{array} \right.\Rightarrow \sqrt{{{7}^{t}}}+2={{3}^{t}}\Leftrightarrow {{(\frac{\sqrt{7}}{3})}^{t}}+2.{{(\frac{1}{3})}^{t}}=1\,\,(2)$

Xét hàm số $f(t)={{(\frac{\sqrt{7}}{3})}^{t}}+2.{{(\frac{1}{3})}^{t}}$ . Ta có $f'(t)={{(\frac{\sqrt{7}}{3})}^{t}}\ln \frac{\sqrt{7}}{3}+2.{{(\frac{1}{3})}^{t}}\ln \frac{1}{3}<0,\,\,\forall t\in \mathbb{R}$ .

Suy ra $f(t)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Khi đó $(2)\Leftrightarrow f(t)=f(2)\Leftrightarrow t=2\Rightarrow x=49$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm $x=49$ .

c) ${{3}^{x}}+{{12}^{x}}={{13}^{x}}\Leftrightarrow {{(\frac{5}{13})}^{x}}+{{(\frac{12}{13})}^{x}}-1=0\,\,\,\,($ 3)

Xét hàm số $f(x)={{(\frac{5}{13})}^{x}}+{{(\frac{12}{13})}^{x}}-1$ với $x\in \mathbb{R}$ .

Ta có $f'(x)={{(\frac{5}{13})}^{x}}\ln \frac{5}{13}+{{(\frac{12}{13})}^{x}}\ln \frac{12}{13}<0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ .

Suy ra hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Khi đó $(3)\Leftrightarrow f(x)=f(2)\Leftrightarrow x=2$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$ .

d) ${{2}^{x+1}}-{{4}^{x}}=x-1\Leftrightarrow {{2}^{x+1}}+(x+1)={{2}^{2x}}+2x\,\,\,\,\,(4)$

Xét hàm đặc trưng $f(t)={{2}^{t}}+t$ với $t\in \mathbb{R}$ .

Ta có $f'(t)={{2}^{t}}\ln 2+1>0$ với $t\in \mathbb{R}$ . Suy ra $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Khi đó phương trình $(4)\Leftrightarrow f(x+1)=f(2x)\Leftrightarrow x+1=2x\Leftrightarrow x=1$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ .

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) ${{3}^{x}}+{{2}^{x}}=3x+2$ .

b) ${{3}^{x}}+{{5}^{x}}={{2.4}^{x}}$ .

Lời giải:

a) ${{3}^{x}}+{{2}^{x}}=3x+2\Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{2}^{x}}-3x-2=0\,\,\,\,(1)$ .

Xét hàm số $f(x)={{3}^{x}}+{{2}^{x}}-3x-2$ .

Ta có $f'(x)={{3}^{x}}\ln 3+{{2}^{x}}\ln 2-3$ và $f''(x)={{3}^{x}}{{\ln }^{2}}3+{{2}^{x}}{{\ln }^{2}}2>0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$ .

Suy ra $f'(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow f'(x)=0$ có tối đa một nghiệm

$\Rightarrow f(x)=0$ có tối đa hai nghiệm hay (1) có nhiều nhất 2 nghiệm.

Mặt khác, $f(0)=0,\,\,f(1)=0\Rightarrow x=0,x=1$ là nghiệm của (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=0$ và $x=1$ .

b) ${{3}^{x}}+{{5}^{x}}={{2.4}^{x}}\Leftrightarrow {{(\frac{3}{4})}^{x}}+{{(\frac{5}{4})}^{x}}=2\Leftrightarrow {{(\frac{3}{4})}^{x}}+{{(\frac{5}{4})}^{x}}-2=0$ (2)

Xét hàm số $f(x)={{(\frac{3}{4})}^{x}}+{{(\frac{5}{4})}^{x}}-2$ .

Ta có $f'(x)={{(\frac{3}{4})}^{x}}\ln \frac{3}{4}+{{(\frac{5}{4})}^{x}}\ln \frac{5}{4}$ và $f''(x)={{(\frac{3}{4})}^{x}}{{\ln }^{2}}\frac{3}{4}+{{(\frac{5}{4})}^{x}}{{\ln }^{2}}\frac{5}{4}>0,\,\forall x\in \mathbb{R}$ .

Suy ra $f'(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow f'(x)=0$ có tối đa một nghiệm.

$\Rightarrow f(x)=0$ có tối đa hai nghiệm.

Mà $\left\{ \begin{array}{l}f(0)=0\\f(1)=0\end{array} \right.\Rightarrow x=0,\,x=1$ là hai nghiệm của (2).

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=0$ và $x=1$ .

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình

${{5}^{{{x}^{2}}+2mx+2}}-{{5}^{2{{x}^{2}}+4mx+m+2}}={{x}^{2}}+2mx+m$ có nghiệm.

Lời giải:

${{5}^{{{x}^{2}}+2mx+2}}-{{5}^{2{{x}^{2}}+4mx+m+2}}={{x}^{2}}+2mx+m$ (1)

$\Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}+2mx+2}}+({{x}^{2}}+2mx+2)={{5}^{2{{x}^{2}}+4mx+m+2}}+(2{{x}^{2}}+4mx+m+2)$ (2)

Xét hàm đặc trưng: $f(t)={{5}^{t}}+t$

$f'(t)={{5}^{t}}\ln 5+1>0,\,\,\forall t\in \mathbb{R}$ . Suy ra $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Khi đó $(2)\Leftrightarrow f({{x}^{2}}+2mx+2)=f(2{{x}^{2}}+4mx+m+2)$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2mx+2=2{{x}^{2}}+4mx+m+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2mx+m=0$ .

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta '\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m\le 0\\m\ge 1\end{array} \right.$ .