Phương pháp đổi biến số

TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

A. Lý thuyết cơ bản:

Nếu $\int{f(u)du}=F(u)+C$ và $u=u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

$\int{f(u(x)).u'(x)dx}=F(u(x))+C$ .

B. Bài tập:

Tính tích phân $I=\int{f(x)dx}$

Dạng 1. Đổi biến số loại 1

Ta làm theo các bước sau:

+ Bước 1: Chọn ẩn phụ $t=u(x)$ .

+ Bước 2: Tính vi phân $dt=u'(x)dx$ .

+ Bước 3: Biểu thị $f(x)$ và $dx$ theo $t$ và $dt$ . Giả sử rằng $f(x)dx=g(t)dt$ .

+ Bước 4: Tính $I=\int{g(t)dt}$ .

- Nếu hàm số $f(x)$ có chứa $\sqrt[n]{g(x)}$ thì đặt $t=\sqrt[n]{g(x)}\Leftrightarrow {{t}^{n}}=g(x)\Rightarrow n.{{t}^{n-1}}dt=g'(x)dx$

- Nếu hàm số $f(x)$ có chứa ${{(ax+b)}^{n}}$ thì đặt $t=ax+b\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dt=adx\\x=\frac{t-b}{a}\end{array} \right.$

- Hàm lượng giác:

Nếu gặp $\int{f(\sin }x).\cos xdx$ thì đặt $t=\sin x$ .

Nếu gặp $\int{f(\cos x).\sin }xdx$ thì đặt $t=\cos x$ .

Nếu gặp $\int{f(\tan x)\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}}$ thì đặt $t=\tan x$ .

Nếu gặp $\int{f(\cot x)\frac{dx}{{{\sin }^{2}}x}}$ thì đặt $t=\cot x$ .

- Biểu thức có chứa logarit:

Thường gặp biểu thức có chứa $\frac{1}{x}$ và $\ln x$ . Khi đó đặt $t=\ln x$ hoặc $t=$ biểu thức có chứa $\ln x$ .

Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $I=\int{\frac{\ln xdx}{x\sqrt{1+\ln x}}}$ .

b) $I=\int{\frac{dx}{\sqrt{{{e}^{x}}-1}}}$ .

c) $I=\int{x{{(3x+1)}^{19}}dx}$ .

Lời giải:

a) Đặt $t=\sqrt{1+\ln x}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=1+\ln x\Rightarrow \ln x={{t}^{2}}-1\Leftrightarrow \frac{dx}{x}=2tdt$ .

$\Rightarrow I=\int{\frac{({{t}^{2}}-1).2tdt}{t}}=2\int{({{t}^{2}}-1)dt}=2\left( \frac{{{t}^{3}}}{3}-t \right)+C$ $=2\left( \frac{\sqrt{{{(1+\ln x)}^{3}}}}{3}-\sqrt{1+\ln x} \right)+C$ .

b) $I=\int{\frac{dx}{\sqrt{{{e}^{x}}-1}}}$

Đặt $t=\sqrt{{{e}^{x}}-1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}={{e}^{x}}-1\Leftrightarrow {{e}^{x}}={{t}^{2}}-1\Rightarrow {{e}^{x}}dx=2tdt$ .

$\begin{array}{l}\Rightarrow I=\int{\frac{2tdt}{t({{t}^{2}}-1)}=\int{\frac{2dt}{{{t}^{2}}-1}=\int{\frac{2dt}{(t-1)(t+1)}=\int{\frac{dt}{t-1}-\int{\frac{dt}{t+1}}}}}}\\=\ln |t-1|-\ln |t+1|+C=\ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right|+C=\ln \left| \frac{\sqrt{{{e}^{x}}-1}-1}{\sqrt{{{e}^{x}}-1}+1} \right|+C\end{array}$

c) $I=\int{x{{(3x+1)}^{19}}dx}$

Đặt $t=3x+1\Rightarrow x=\frac{t-1}{3}\Rightarrow dx=\frac{dt}{3}$ .

$\Rightarrow I=\int{\frac{t-1}{3}.{{t}^{19}}.3.dt}=\int{({{t}^{20}}-{{t}^{19}})dt}=\frac{{{t}^{21}}}{21}-\frac{{{t}^{20}}}{20}+C$ $=\frac{{{(3x+1)}^{21}}}{21}-\frac{{{(3x+1)}^{20}}}{20}+C$ .

Ví dụ 1.2 (THPT Chuyên Quang Trung 2017 Lần 3) Cho $f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}(2\sqrt{{{x}^{2}}+1}+5)$ , biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=6$ . Tính $F\left( \frac{3}{4} \right)$ .

A. $\frac{125}{16}$ . B. $\frac{126}{16}$ . C. $\frac{123}{16}$ . D. $\frac{127}{16}$ .

Lời giải:

Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow tdt=xdx$ .

$\int{f(x)dx}=\int{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}(2\sqrt{{{x}^{2}}+1}+5)dx}=\int{(2t+5)dt}$ $={{t}^{2}}+5t+C=({{x}^{2}}+1)+5\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$

$F(0)=6\Rightarrow C=0$ .

Vậy $F\left( \frac{3}{4} \right)=\frac{125}{16}$ .

Dạng 2. Đổi biến số loại 2

A. Phương pháp

Ta làm theo các bước sau:

+ Bước 1: Chọn ẩn phụ $x=u(t)$ .

+ Bước 2: Tính vi phân $dx=u'(t)dt$ .

+ Bước 3: Biểu thị $f(x)$ và $dx$ theo $t$ và $dt$ . Giả sử rằng $f(x)dx=g(t)dt$ .

+ Bước 4: Tính $I=\int{g(t)dt}$ .

- Nếu hàm số $f(x)$ có chứa $\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ thì đặt:

$x=a\sin t\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx=d(a\sin t)=a\cos t.dt\\\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}t}=a\cos t\end{array} \right.$

- Nếu hàm $f(x)$ có chứa $\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$ thì đặt:

$\displaystyle x=a\tan t\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx=d(a\tan t)=\frac{adt}{{{\cos }^{2}}t}=a(1+{{\tan }^{2}}t)dt\\\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}{{\tan }^{2}}t}=\frac{|a|}{\cos t}\end{array} \right.$

- Nếu hàm $f(x)$ có chứa $\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}$ thì đặt:

$x=\frac{a}{\sin t}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx=d(\frac{a}{\sin t})=-\frac{a\cos t.dt}{{{\sin }^{2}}t}\\\sqrt{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{{{\sin }^{2}}t}-{{a}^{2}}}=\frac{|a|}{\cot t}\end{array} \right.$

- Nếu hàm $f(x)$ có chứa ${{(1+{{x}^{2}})}^{k}}$ thì đặt:

$x=\tan t\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx=d(\tan t)=\frac{dt}{{{\cos }^{2}}t}\\{{(1+{{x}^{2}})}^{k}}={{(1+{{\tan }^{2}}x)}^{k}}=\frac{1}{{{\cos }^{2k}}t}\end{array} \right.$

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

a) $I=\int{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}$ . b) $I=\int{{{x}^{2}}\sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}$ .

c) $I=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+1}}$ . d) $I=\int{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}dx}$ .

Lời giải:

a) $I=\int{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}$ .

Đặt $x=\sin t,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow dx=d(\sin t)=\cos tdt$ .

$\Rightarrow I=\int{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}}\cos tdt=\int{\cos t.\cos tdt}=\int{\frac{1+\cos 2t}{2}}dt$

$=\frac{1}{2}\int{dt}+\frac{1}{2}\int{\cos 2tdt}=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t+C$ .

Từ $x=\sin t\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos t=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\\t=\arcsin x\end{array} \right.$ $\Rightarrow \sin 2t=2\sin t.\cos t=2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ .

$\Rightarrow I=\frac{\arcsin x}{2}+\frac{1}{2}x\sqrt{1-{{x}^{2}}}+C$ .

b) $I=\int{{{x}^{2}}\sqrt{9-{{x}^{2}}}dx}$

Đặt $x=3\sin t,t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow dx=d(3\sin t)=3\cos tdt$ .

$\Rightarrow I=\int{9{{\sin }^{2}}t.3\cos t.3\cos tdt}=\frac{81}{4}\int{{{\sin }^{2}}2tdt}=\frac{81}{4}\int{\frac{1-\cos 4t}{2}}dt$

$=\frac{81}{4}\left[ \frac{1}{2}\int{dt}-\frac{1}{2}\int{\cos 4tdt} \right]=\frac{81}{4}\left( \frac{t}{2}-\frac{1}{8}\sin 4t \right)+C$ với $t=\arcsin \frac{x}{3}$ .

c) $I=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+1}}$

Đặt $\displaystyle x=\tan t,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow dx=d(\tan t)=\frac{dt}{{{\cos }^{2}}t}=(1+{{\tan }^{2}}t)dt$ .

$\Rightarrow \int{\frac{(1+{{\tan }^{2}}t)dt}{1+{{\tan }^{2}}t}=\int{dt}=t+C=\arctan x+C}$ .

d) $I=\int{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+5}dx}=\int{\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+4}d(x+1)}$

Đặt $x+1=2\tan t,\,t\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow dt=d(2\tan t)=\frac{2dt}{{{\cos }^{2}}t}$ .

$\Rightarrow I=\int{\frac{2dt}{\frac{2}{\cos t}.{{\cos }^{2}}t}=\int{\frac{dt}{\cos t}}}=\int{\frac{\cos t}{{{\cos }^{2}}t}dt}=\int{\frac{d(\sin t)}{1-{{\sin }^{2}}t}}$

$=\frac{1}{2}\int{\frac{(1+\sin t)+(1-\sin t)}{(1+\sin t)(1-\sin t)}d(\sin t)}$ $=\frac{1}{2}\int{\frac{d(\sin t)}{1-\sin t}+\frac{1}{2}\int{\frac{d(\sin t)}{1+\sin t}=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+\sin t}{1-\sin t} \right|+C}}$