HOÁN VỊ – TỔ HỢP – CHỈNH HỢP   A. Lí thuyết cơ bản   1. Hoán vị - Cho tập A gồm n phần tử (). Khi xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp A, ( gọi tắt là một hoán vị của A). - Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:  .   2. Chỉnh hợp - Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (). Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp n chập k của A). - Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:  . - Một số qui ước :    3. Tổ hợp - Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, , (). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. - Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:  . - Một số quy ước , với qui ước này ta có  đúng với số nguyên dương k, thỏa . - Tính chất :  và : được gọi là hằng đẳng thức Pascal.   B. Bài tập   Dạng 1. Thực hiện bài toán đếm theo hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp  A. Phương pháp * Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của  phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau: + Tất cả  phần tử đều có mặt. + Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần. + Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử. * Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập  của  phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau: + Phải chọn  phần tử từ  phần tử cho trước. + Có phân biệt thứ tự giữa  phần tử được chọn. * Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập  của  phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau: + Phải chọn  phần tử từ  phần tử cho trước. + Không phân biệt thứ tự giữa  phần tử được chọn. B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: a) A và F ngồi ở hai đầu ghế b) A và F ngồi cạnh nhau c) A và F không ngồi cạnh nhau Lời giải: a) Số cách xếp A, F:  Số cách xếp :  Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán:  b) Xem  là một phần tử , ta có:  số cách xếp . Khi hoán vị  ta có thêm được một cách xếp Vậy có  cách xếp thỏa yêu cầu bài toán. c) Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán:  cách Ví dụ 2: Một hội đồng gồm  giáo viên và  học sinh được chọn từ một nhóm  giáo viên và học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? A. 200.                   B. 150.                     C. .                    D. . Lời giải: Chọn A. Chọn  trong giáo viên có:  cách chọn. Chọn  trong  học sinh có  cách chọn. Vậy có  cách chọn. Ví dụ 3: Cho tập  1. Có bao nhiêu tập con của A chứa số 2 mà không chứa số 3     A. 64                       B. 83                         C. 13                       D. 41 2. Từ các chữ số thuộc tập A, lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số không bắt đầu bởi 123.     A. 3340                   B. 3219                C. 4942                   D. 2220  Lời giải: 1. Xét tập , ta có B không chứa số 3. là một tập con của A thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi là một tập con của . Do đo, số tập con của A thỏa yêu cầu bài toán bằng số tập con của B và bằng . Chọn A. 2. Xét số  được lập từ các chữ số thuộc tập A. Vì  lẻ nên , suy ra có 4 cách chọn e. Bốn chữ số còn lại được chọn từ 7 chữ số của tập  nên có  cách Suy ra, có  số lẻ gồm năm chữ số khác nhau. Mà số  bắt đầu bằng 123 có  số. Vậy số  thỏa yêu cầu bài toán là :  số. Chọn A. Ví dụ 4: Một Thầy giáo có 10 cuốn sách Toán đôi một khác nhau, trong đó có 3 cuốn Đại số, 4 cuốn Giải tích và 3 cuốn Hình học. Ông muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh sao cho sau khi tặng mỗi loại sách còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng.     A. 23314                    B. 32512                   C. 24480                   D. 24412 Lời giải: Số cách lấy 5 cuốn sách và đem tặng cho 5 học sinh: cách. Số cách chọn sao cho không còn sách Đại số: cách Số cách chọn sao cho không còn sách Giải tích: cách Số cách chọn sao cho không còn sách Hình học: cách. Vậy số cách tặng thỏa yêu cầu bài toán:  cách tặng.   Dạng 2. Giải phương trình, bất phương trình A. Phương pháp Dựa vào công thức tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị để chuyển phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số. B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1.  2.  Lời giải: 1. Điều kiện:  Ta có:   Với phương trình vô nghiệm  Với phương trình vô nghiệm Vậy  là nghiệm duy nhất. 2. Điều kiện:  Phương trình  . Ví dụ 2: 1. Cho . Tính  2. Tính , biết  3. Tính , biết . Lời giải: 1. ĐK:  Ta có:  Khi đó:  2. Ta có: ; ;…;  Nên         . 3. Điều kiện:  Ta có:          Do đó: .